Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3km và muốn đến điểm B

Giải Toán 12Kết nối tri thức Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Luyện tập 2 trang 38 Toán 12 Tập 1: Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông thẳng rộng 3km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách 8km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt (H.1.35). Anh An có thể chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ đến B, hoặc anh có thể chèo thuyển thẳng đến B, hoặc anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền là 6km/h và vận tốc chạy bộ là 8km/h thì anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm nào để đến B càng sớm càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).

Lời giải:

Gọi độ dài đoạn CD là x (km $0<x<8$)

Quãng đường AD dài: $\sqrt{A{C}^2+D{C}^2}=\sqrt{9+x^2}\left(km\right)$

Quãng đường BD dài $8-x\left(km\right)$

Thời gian người đó đi đến B bằng cách chèo thuyền đến một điểm D nào đó giữa C và B rồi chạy bộ đến B là: $\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\frac{8-x}{8}$ (giờ)

Xét hàm số $y=\frac{\sqrt{9+x^2}}{6}+\frac{8-x}{8}$ với $0<x<8$

Ta có: $y^{\prime }=\frac{x}{6\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{8}$

$y^{\text{'}}=0\iff \frac{x}{6\sqrt{9+x^2}}-\frac{1}{8}=0\iff 4x=3\sqrt{9+x^2}\iff \{\begin{array}{l}16x^2=9\left(9+x^2\right)\\ x>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2=\frac{81}{7}\\ x>0\end{array}\iff x=\frac{9}{\sqrt{7}}$

Bảng biến thiên:

Vậy anh An phải chèo thuyền sang bờ ở điểm D cách B một khoảng bằng $\frac{9}{\sqrt{7}}km$ thì đến B sớm nhất.