Giải Toán 11 trang 43 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11trang 43 Tập 1

Bài 10 trang 43 Toán 11 Tập 1:Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin$\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$- sin2x = 0 là bao nhiêu?

Lời giải:

Xét phương trình sin$\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$- sin2x = 0

$\iff$sin2x = sin$\left(x+\frac{\pi }{6}\right)$

Với họ nghiệm $x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ có nghiệm dương bé nhất là $x=\frac{\pi }{6}$ khi k = 0.

Với họ nghiệm $x=\frac{5\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$ có nghiệm dương bé nhất là $x=\frac{5\pi }{18}$ khi k = 0.

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình đã cho là $x=\frac{\pi }{6}$.

Bài 11 trang 43 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:

a) sin2x + cos3x = 0;

b) sinxcosx = $\frac{\sqrt{2}}{4}$;

c) sinx + sin2x = 0.

Lời giải:

a) sin2x + cos3x = 0

⇔ sin2x = sin$\left(\frac{\pi }{2}-3x\right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = $\left(\frac{\pi }{10}+k\frac{2\pi }{5};-\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) sinxcosx = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

$\iff$ sin2x = $\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff$ sin2x = sin$\frac{\pi }{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left(\frac{\pi }{8}+k\pi ;\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) sinx + sin2x = 0.

⇔ sinx = – sin2x

⇔ sinx = sin(– 2x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = $\left(k\frac{2\pi }{3};-\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$.

Bài 12 trang 43 Toán 11 Tập 1: Độ sâu h(m) của mực nước ở một cảng biển vào thời điểm t (giờ) sau khi thủy triều lên lần đầu tiên trong ngày được tính xấp xỉ bởi công thức h(t) = 0,8cos0,5t + 4.

(Theo https://noc.ac.uk/files/documents/business/an-introduction-to-tidal-modelling.pdf)

a) Độ sâu của nước vào thời điểm t = 2 là bao nhiêu mét?

b) Một con tàu cần mực nước sâu tối thiểu 3,6m để có thể di chuyển vào cảng an toàn. Dựa vào đồ thị của hàm số côsin, hãy cho biết trong vòng 12 tiếng sau khi thủy triều lên lần đầu tiên, ở những thời điểm t nào tàu có thể hạ thủy. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Tại thời điểm t = 2 độ sâu của nước là: h(2) = 0,8cos0,5.2 + 4 ≈ 4,43 m.

Vậy độ sâu của nước ở thời điểm t = 2 là khoảng 4,43 m.

b) Các thời điểm để mực nước sâu là 3,6m tương ứng với phương trình 0,8cos0,5t + 4 = 3,6

⇔ 0,8cos0,5t = – 0,4

⇔ cos0,5t = – 0,5

⇔ cos0,5t = cos$\frac{2\pi }{3}$

⇔ 0,5t = $\pm \frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

⇔ t = $\pm \frac{4\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$

+) Với $t=\frac{4\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, trong 12 tiếng ta có các thời điểm

$0\le \frac{4\pi }{3}+k2\pi \le 12\iff -\frac{2}{3}\le k\le 1,24$

Mà $k\in \mathbb{Z}$ nên k$\in${0;1}.

+) Với $t=-\frac{4\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$, trong 12 tiếng ta có các thời điểm

$0\le -\frac{4\pi }{3}+k2\pi \le 12\iff \frac{2}{3}\le k\le 1,24$

Mà k$\in$Z nên k=1.

Vậy tại các thời điểm $t=\frac{4\pi }{3},t=\frac{10\pi }{3},t=\frac{2\pi }{3}$ giờ thì tàu có thể hạ thủy.

Bài 13 trang 43 Toán 11 Tập 1: Cho vận tốc v (cm/s) của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức v = -3sin$\left(1,5t+\frac{\pi }{3}\right)$.

(Theo https://www.britannica.com/science/simple-harmonic-motion)

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất;

b) Vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s.

Lời giải:

a) Vì $-1\le \sin \left(1,5t+\frac{\pi }{3}\right)\le 1$ nên $-3\le -3\sin \left(1,5t+\frac{\pi }{3}\right)\le 3$

Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất khi sin$\left(1,5t+\frac{\pi }{3}\right)$ = -1

b) Để vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s thì v = -3sin$\left(1,5t+\frac{\pi }{3}\right)$ = 1,5

$\iff \sin \left(1,5t+\frac{\pi }{3}\right)=-\frac{1}{2}$

Dựa vào đồ thị hàm số sin ta có:

Bài 14 trang 43 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 1, cây xanh AB nằm ở trên đường xích đạo được trồng vuông góc với mặt đất và có chiều cao 5m. Bóng của cây là BE. Vào nghày xuân phân và hạ phân, điểm E di chuyển trên đường thẳng Bx. Góc thiên đỉnh θ_s = (AB, AE) phụ thuộc vào vị trí của Mặt Trời và thay đổi theo thời gian trong ngày theo công thức θ_s(t) = $\frac{\pi }{12}\left(t-12\right)$ rad với t là thời gian trong ngày (theo đơn vị giờ, 6 < t < 18) .

(Theo https://www.sciencedirect.com/topics/engineering/solar-hour-angle)

a) Viết hàm số biểu diễn tọa độ của điểm E trên trục Bx theo t.

b) Dựa vào đồ thị của hàm số tang, hãy xác định các thời điểm mà tại đó bóng cây phủ qua vị trí tường rào N biết N nằm trên trục Bx với tọa độ x_N = – 4 (m). Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

a) Xét tam giác ABE vuông tại B, có:

$\tan {\theta }_s\left(t\right)=\frac{BE}{AB}\iff BE=5\tan \left(\frac{\pi }{12}\left(t-12\right)\right)$.

b) Đồ thị của hàm số ${\theta }_s=5\tan \left(\frac{\pi }{12}\left(t-12\right)\right)$

Dựa vào đồ thị hàm số để ${\theta }_s=5\tan \left(\frac{\pi }{12}\left(t-12\right)\right)<-4$ và 6 < t < 18 suy ra các thời điểm để bóng cây phủ qua hàng rào N là 6 < t< 9,4.