Giải Toán 11 trang 42 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 trang 42 Tập 2

Bài 3 trang 42 Toán 11 Tập 2:Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³.

a) Tại điểm (−1; 1);

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2.

Lời giải:

Ta có:(x³)′=3x².

a) Vì điểmM(−1; 1)không thuộc đồ thị hàm số(C)nên không có phương trình tiếp tuyến tại điểmM(−1; 1).

b) Vớix₀=2⇔y₀=2³=8. Do đóN(2;8).

Tiếp tuyến của(C)tại điểmN(2;8)có hệ số góc là:

f′(2)=3.2²=12.

Phương trình tiếp tuyến của(C)tại điểmNlà:

y–8=12(x−2)⇔y=12x–24+8⇔y=12x–16.

Bài 4 trang 42 Toán 11 Tập 2:Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s(t) = 4t³ + 6t + 2, trong đó tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2.

Lời giải:

Vận tốc tức thời của chuyển động tại t = 2 là:

$v\left(2\right)=s^{\text{'}}\left(2\right)=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{s\left(t\right)-s\left(2\right)}{t-2}$

$=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{\left(4t^3+6t+2\right)-\left(4.2^3+6.2+2\right)}{t-2}$

$=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{4t^3+6t+2-46}{t-2}=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{4t^3+6t-44}{t-2}$

$=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{2\left(2t^3+3t-22\right)}{t-2}=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{2\left(t-2\right)\left(2t^2+4t-11\right)}{t-2}$

$=\underset{t\to 2}{\lim }2\left(2t^2+4t-11\right)=2\left(2.2^2+4.2-11\right)=54$.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là v(2) = 54 m/s.

Bài 5 trang 42 Toán 11 Tập 2:Một người gửi tiết kiệm khoản tiền 10 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 5%/năm. Tính tổng số tiền vốn và lãi mà người đó nhận được sau một năm, nếu tiền lãi được tính theo thể thức

a) lãi kép với kì hạn 6 tháng.

b) lãi kép liên tục.

Lời giải:

a) Nếu tiền lãi được tính theo thể thứclãi kép với kì hạn 6 tháng.

Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là:

$T=A.{\left(1+\frac{r}{n}\right)}^n=1000000000.{\left(1+\frac{0,05}{2}\right)}^2=10506250$(đồng).

Vậy tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là 10 506 250 đồng, nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép với kì hạn 6 tháng.

b) Nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép liên tục.

Tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là:

$T=A.e^{rt}=1000000000.e^{0,05}\approx 10512711$(đồng).

Vậy tổng số tiền vốn và lãi người đó nhận được sau 1 năm là 10 512 711 đồng, nếu tiền lãi được tính theo thể thức lãi kép liên tục.

Bài 6 trang 42 Toán 11 Tập 2:Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tư do của một vật được cho bởi công thức h(t) = 0,81t², với được tính bằng giây và tính bằng mét. Hãy tính vận tốc tức thời của vật được thả rơi tự do trên Mặt Trăng tại thời điểm t = 2.

Lời giải:

(Nguồn: https:/www.britannica.complace/Moon)

Ta có$h^{\text{'}}\left(2\right)=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{h\left(t\right)-h\left(2\right)}{t-2}=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{0,81t^2-0,81.2^2}{t-2}$

$=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{0,81\left(t^2-2^2\right)}{t-2}=\underset{t\to 2}{\lim }\frac{0,81\left(t-2\right)\left(t+2\right)}{t-2}$

$=\underset{t\to 2}{\lim }0,81\left(t+2\right)=0,81\left(2+2\right)=3,24$.

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động lúc t = 2 là v(2) = h'(2) = 3,24 m/s.

Hoạt động khởi động trang 42 Toán 11 Tập 2: Giả sử hàm số f(x) và g(x) lần lượt có đạo hàm tại x₀ là f'(x₀) và g'(x₀). Làm thế nào để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x₀?

Lời giải:

Để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x0 thì ta tìm giới hạn của tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x₀.

Hoạt động khám phá 1 trang 42 Toán 11 Tập 2:

a) Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = x tại điểm x = x₀.

b) Nhắc lại đạo hàm của các hàm số y = x²; y = x³ đã tìm được ở bài học trước. Từ đó, dự đoán đạo hàm của hàm số y = xⁿ với n $\in$ ℕ*.

Lời giải:

a) Ta có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x-x_0}{x-x_0}=1$.

Vậy y'(x₀) = 1.

b) Có (x²)' = 2x; (x³)' = 3x²;

Dự đoán (xⁿ)' = nx^{n – 1}.