Hoạt động khám phá 2 trang 39 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 1: Đạo hàm

Hoạt động khám phá 2 trang 39 Toán 11 Tập 2:Cho hàm số$y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$có đồ thị (C) và điểm$M\left(1;\frac{1}{2}\right)$thuộc (C).

a) Vẽ (C) và tính f'(1).

b) Vẽ đường thẳng d đi qua điểm M và có hệ số góc bằng f'(1). Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa d và (C).

Lời giải:

a) Đồ thị hàm số$\left(C\right):y=\frac{1}{2}{x}^2$được vẽ như hình bên dưới.

Ta có$f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}}{x-1}$

$=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}\left(x^2-1\right)}{x-1}=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{\frac{1}{2}\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x-1}$

$=\underset{t\to 1}{\lim }\frac{1}{2}\left(x+1\right)=\frac{1}{2}\left(x+1\right)=1$.

b) Theo đề bài, đường thẳng d đi qua$M\left(1;\frac{1}{2}\right)$và có hệ số góc bằng k = f'(1) = 1 nên:

$y-\frac{1}{2}=1\left(x-1\right)\iff y-\frac{1}{2}=x-1\iff y=x-\frac{1}{2}$.

Lấy điểm$M\left(1;\frac{1}{2}\right)$, vẽ đường thẳng$\left(d\right):y=x-\frac{1}{2}$, ta có hình vẽ:

Nhận xét:Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C) tại duy nhất tại điểm$M\left(1;\frac{1}{2}\right)$.

Khi đó, đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C) tại điểm$M\left(1;\frac{1}{2}\right)$.