Giải Toán 11 trang 16 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11trang 16 Tập 1

Câu hỏi khởi động trang 16 Toán 11 Tập 1:Ở lớp dưới, ta đã làm quen với một số phép tính trong tập hợp các số thực, chẳng hạn: phép tính luỹ thừa với số mũ tự nhiên và những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa các luỹ thừa như vậy. Việc lấy các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã hình thành nên những phép tính mới trong tập hợp các số thực, đó là những phép tính lượng giác.

Có hay không những công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Có các công thức để tính toán hay biến đổi những biểu thức chứa giá trị lượng giác sau:

‒ Công thức cộng;

‒ Công thức nhân đôi;

‒ Công thức biến đổi tích thành tổng;

‒ Công thức biến đổi tổng thành tích.

I. Công thức cộng

Hoạt động 1 trang 16 Toán 11 Tập 1: a) Cho $a=\frac{\pi }{6},b=\frac{\pi }{3}$. Hãy tính sina, cosa, sinb, cosb và sin(a + b). Từ đó rút ra đẳng thức sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (*).

b) Tính sin(a – b) bằng cách biến đổi sin(a – b) = sin[a + (‒b)] và sử dụng công thức (*).

Lời giải:

a) Với $a=\frac{\pi }{6}$ ta có sina = $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$; cosa = cos$\frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Với b=$\frac{\pi }{3}$ ta có sinb = sin$\frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$; cosb = cos$\frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$.

Ta có sin(a+b) = sin$\left(\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}\right)$ = sin$\frac{\pi }{2}$= 1;

sinacosb + cosasinb = $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}$= 1

Do đó sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb (vì cùng bằng 1).

b) Ta có sin(a – b) = sin[a + (‒b)]

= sina cos(‒b) + cosa sin(‒b)

= sina cosb + cosa (‒sinb)

= sina cosb ‒ cosa sinb

= $\frac{1}{2}.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}$

=$\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}$.

Luyện tập 1 trang 16 Toán 11 Tập 1:Tính sin$\frac{\pi }{12}$.

Lời giải:

Áp dụng công thức cộng ta có:

sin$\frac{\pi }{12}$ = sin$\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{4}\right)=\sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4}-\cos \frac{\pi }{3}\sin \frac{\pi }{4}$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.