Giải Toán 10 trang 57 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 57 Tập 1

HĐ 3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Với $\overrightarrow{u}\ne \overrightarrow{0}$và hai số thực k, t, những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$có cùng độ dài bằng $\left.kt\right|\left.\overrightarrow{u}\right|.$

b) Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

c) Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

d) Hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$bằng nhau.

Lời giải

a) Ta có: $\left.k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left.k\right|\left.t\overrightarrow{u}\right|=\left.k\right|\left.t\right|\left.\overrightarrow{u}\right|=\left.kt\right|\left.\overrightarrow{u}\right|$và $\left.\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left.kt\right|\left.\overrightarrow{u}\right|$

Suy ra $\left.k\left(t\overrightarrow{u}\right)\right|=\left.\left(kt\right)\overrightarrow{u}\right|=\left.kt\right|\left.\overrightarrow{u}\right|$

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$có cùng độ dài bằng $\left.kt\right|\left.\overrightarrow{u}\right|.$

Vậy khẳng định a) đúng.

b) - Với kt ≥ 0 thì vectơ $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

- Với kt ≥ 0 $\iff \begin{array}{l}k\ge 0\\ t\ge 0\end{array}$ hoặc $\begin{array}{l}k\le 0\\ t\le 0\end{array}$ 

+) Trường hợp 1: k ≥ 0 và t ≥ 0

Với t ≥ 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k ≥ 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k ≥ 0 và t ≥ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$(do cùng hướng với $t\overrightarrow{u}$).

+) Trường hợp 2: k ≤ 0 và t ≤ 0

Với t ≤ 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k ≤ 0 thì vectơ k($t\overrightarrow{u}$) ngược hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k ≤ 0 và t ≤ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$(do cùng ngược hướng với $t\overrightarrow{u}).$

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt ≥ 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Suy ra: nếu kt ≥ 0 thì cả hai vecto $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định b) là đúng.

c) – Với kt < 0 thì vectơ $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

- Với kt < 0 $\iff \begin{array}{l}k>0\\ t<0\end{array}$hoặc $\begin{array}{l}k<0\\ t>0\end{array}$

+) Trường hợp 1: k > 0 và t < 0

Với t < 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k > 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$cùng hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k > 0 t < 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$

+) Trường hợp 2: k < 0 và t > 0

Với t > 0 thì vectơ $t\overrightarrow{u}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$;

Với k < 0 thì vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $t\overrightarrow{u}$;

Do đó với k < 0 và t > 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Kết hợp hai trường hợp ta có: với kt < 0 thì $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{u}$.

Suy ra nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Vậy khẳng định c) là đúng.

d) Theo câu a thì hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ có cùng độ dài.

+ Nếu kt ≥ 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ cùng hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng.

+ Nếu kt < 0 thì cả hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$ ngược hướng với $\overrightarrow{u}$.

Suy ra hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng.

Do đó hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right),\left(kt\right)\overrightarrow{u}$cùng hướng với mọi k, t.

$\Rightarrow k\left(t\overrightarrow{u}\right)=\left(kt\right)\overrightarrow{u}$

Hay hai vectơ $k\left(t\overrightarrow{u}\right)$và $\left(kt\right)\overrightarrow{u}$bằng nhau.

Vậy khẳng định d) đúng.

HĐ 4 trang 57 Toán 10 Tập 1: Hãy chỉ ra trên Hình 4.26 hai vectơ $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)$và $3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$. Từ đó, nêu mối quan hệ giữa $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)$và $3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$.

Lời giải

Giả sử $\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{u},\overrightarrow{OF}=\overrightarrow{v}$được biểu diễn như hình vẽ trên.

+ Xét hình bình hành OEMF, ta có:

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{\text{OF}}=\overrightarrow{OM}$ (quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow 3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{OM}$

Trên hình vẽ ta thấy OC = 3OM và $\overrightarrow{OC}$cùng hướng với $\overrightarrow{OM}$.

Do đó $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OC}$. (1)

+ Trên hình vẽ ta thấy $OA=3\left.\overrightarrow{u}\right|$và $\overrightarrow{OA}$cùng hướng với $\overrightarrow{u}$

$OB=3\left.\overrightarrow{v}\right|$ và $\overrightarrow{OB}$cùng hướng với $\overrightarrow{v}$

Do đó $\overrightarrow{OA}=3\overrightarrow{u},\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{v}$

Xét hình bình hành OACB, ta có:

$3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\text{OB}}=\overrightarrow{OC}$ (quy tắc hình bình hành)(2)

Từ (1) và (2)$\Rightarrow 3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}\left(=\overrightarrow{OC}\right)$

Vậy $3\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)=3\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}.$

Luyện tập 2 trang 57 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$

Lời giải

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$(Tính chất trọng tâm của tam giác)

Với điểm O bất kì ta có: 

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{OG}\right)+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{0}$

$=3\overrightarrow{OG}.$

Vậy $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}.$

Luyện tập 3 trang 57 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.27, hãy biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$, tức là tìm các số x, y, z, t để $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=t\overrightarrow{a}+z\overrightarrow{b}.$

Lời giải

Giả sử các điểm O, A, B, C, M, N, P là các điểm như trong hình vẽ dưới đây.

Khi đó ta có:

$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{b};\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{u};\overrightarrow{OM}=3\overrightarrow{b};\overrightarrow{ON}=-2\overrightarrow{a};\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{v}$ 

Xét hình bình hành OACB, có: $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$(quy tắc hình bình hành)

Suy ra $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$.

Xét hình bình hành OMPN, có: $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$(quy tắc hình bình hành)

Suy ra $\overrightarrow{v}=3\overrightarrow{b}+\left(-2\overrightarrow{a}\right)=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$

Vậy $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b},\overrightarrow{v}=-2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}.$