Giải Toán 10 trang 54 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 54 Tập 1

Vận dụng trang 54 Toán 10 Tập 1: Tính lực kéo cần thiết để kéo một khẩu pháo có trọng lượng 22 148N (ứng với khối lượng xấp xỉ 2 260kg) lên một con dốc nghiêng 30° so với phương nằm ngang (H.4.18). Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100 N thì cần tối thiểu bao nhiêu người để kéo pháo?

Chú ý: Ta coi khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\overrightarrow{P}$ (có độ lớn $\left.\overrightarrow{P}\right|=22148N,$ có phương vuông góc với phương nằm ngang và hướng xuống dưới), phản lực $\overrightarrow{\text{W}}$ (có độ lớn $\left.\overrightarrow{\text{W}}\right|=\left.\overrightarrow{P}\right|cos30°$, có phương vuông góc với mặt dốc và hướng lên trên) và lực kéo $\overrightarrow{F}$(theo phương dốc, hướng từ chân dốc lên đỉnh dốc).

Lời giải

Do khẩu pháo chịu tác động của ba lực: trọng lực $\overrightarrow{P}$, phản lực $W$và lực kéo $\overrightarrow{F}$. Để kéo được khẩu pháo đi lên ta cần lực kéo $\overrightarrow{F}$có độ lớn lớn hơn độ lớn của tổng hai lực $\overrightarrow{P}$và $\overrightarrow{\text{W}}$, tức là: $\left.\overrightarrow{F}\right|>\left.\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}\right|$

Xét hình bình hành OACB có $\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}=\overrightarrow{OC}$suy ra $\left.\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}\right|=\left.\overrightarrow{OC}\right|$

Xét ΔOBC vuông tại O, có:

$OC=BC.\sin 30°$$=\left.P\right|\sin 30°.$

Do đó $\left.\overrightarrow{\text{W}}+\overrightarrow{P}\right|=\left.\overrightarrow{OC}\right|=\left.\overrightarrow{P}\right|.\sin 30°=22148.\frac{1}{2}=11074$(N)

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{F}\right|>11074N$

Ta có: 11 074 : 100 = 110,74

Nếu lực kéo của mỗi người bằng 100 N thì cần tối thiểu số người để kéo pháo là 111 người.

Vậy ta cần một lực kéo lớn hơn 11 074 N để kéo khẩu pháo đi lên và nếu lực kéo của mỗi người bằng 100 N thì cần tối thiểu 111 người để kéo pháo lên.

Bài tập

Bài 4.6 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0};$

b) $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD};$

Lời giải

a) Ta có:

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right)+\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}\right)=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$

(quy tắc ba điểm).

b) Ta có: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DC}$(quy tắc hiệu)

$\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$ (quy tắc hiệu)

$\Rightarrow \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}.$

Bài 4.7 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Hãy tìm điểm M để $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Tìm mối quan hệ giữa hai vecto $\overrightarrow{CD}$và $\overrightarrow{CM}$.

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$(quy tắc hình bình hành)

Theo đề bài $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, do đó ta cần tìm điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BM}$

⇔ ACMB là hình bình hành

Vậy điểm M cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành dựng trên hai cạnh AB, AC.

Do tứ giác ACMB là hình bình hành

Bài 4.8 trang 54 Toán 10 Tập 1: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$(quy tắc hiệu)

Suy ra $\left.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=\left.\overrightarrow{CB}\right|=CB=a.$

Gọi D là điểm thoả mãn điều kiện ABDC là hình hình hành.

 $\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$(quy tắc hình bình hành)

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left.\overrightarrow{AD}\right|=AD$

Gọi M là giao điểm của AD và BC

⇒ M là trung điểm của BC và AD (tính chất hình bình hành)

AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác đều ABC.

Do đó tam giác ABM vuông tại M có AB = a, BM = $\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a$, áp dụng định lí Pythagore ta có: AB² = AM² + BM²

⇒ AM² = AB² – BM² = $a^2-{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2=a^2-\frac{1}{4}{a}^2=\frac{3a^2}{4}$

$\Rightarrow AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$Mà M là trung điểm của AD nên AD = 2AM $=2.\frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=AD=a\sqrt{3}$

Vậy $\left.\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right|=a$và $\left.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=a\sqrt{3}$.

Bài 4.9 trang 54 Toán 10 Tập 1: Hình 4.19 biểu diễn hai lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$cùng tác động lên một vật, cho $\left.\overrightarrow{F_1}\right|=3N,\left.\overrightarrow{F_2}\right|=2N.$Tính độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$.

Lời giải

Vẽ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành trong đó $\overrightarrow{AB}$biểu diễn $\overrightarrow{F_1}$; $\overrightarrow{AD}$biểu diễn $\overrightarrow{F_2}$và $\widehat{BAD}=120°$(như hình vẽ trên).

Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$(quy tắc hình bình hành)

Do đó $\left.\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\left.\overrightarrow{AC}\right|=AC$

Xét tam giác ABC, áp dụng định lí côsin ta có:

AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos$\widehat{ABC}$

+) $AB=\left.\overrightarrow{AB}\right|=\left.\overrightarrow{F_1}\right|$mà $\left.\overrightarrow{F_1}\right|=3$ nên AB = 3

+) Vì ABCD là hình bình hành nên BC = AD (tính chất hình bình hành)

Mà AD = $\left.\overrightarrow{AD}\right|=\left.\overrightarrow{F_2}\right|=2$

Do đó BC = 2.

+) Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC do đó $\widehat{ABC}+\widehat{BAD}={180}^0$(hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\widehat{ABC}=180°-\widehat{BAD}=180°-120°=60°$

+) Ta có AC² = AB² + BC² – 2.AB.BC.cos$\widehat{ABC}$

AC² = 3² + 2² – 2.3.2.cos 60°

AC² = 7

$\Rightarrow AC=\sqrt{7}$

$\Rightarrow \left.\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}\right|=\sqrt{7}$

Vậy độ lớn của hợp lực $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ là $\sqrt{7}$(N).

Bài 4.10 trang 54 Toán 10 Tập 1: Hai con tàu xuất phát cùng lúc từ bờ bên này sang bờ bên kia của dòng sông với vận tốc riêng không đổi và có độ lớn bằng nhau. Hai tàu luôn giữ được lái sao cho chúng tạo với bờ cùng mộtgóc nhọn nhưng một tàu hướng xuống hạ lưu, một tàu hướng lên thượng nguồn (hình bên). Vận tốc dòng nước là đáng kể, các yếu tố bên ngoài khác không ảnh hưởng tới vận tốc của các tàu. Hỏi tàu nào sang bờ bên kia trước?

Lời giải

Ta biểu thị hai bờ sông là hai đường thẳng song song d₁, d₂

Giả sử tàu 1 xuất phát từ $A\in d_1$đến M (hướng xuống hạ lưu) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α.

Giả sử tàu 2 xuất phát từ $A^{\text{'}}\in d_1$đến M' (hướng lên thượng nguồn) và bánh lái luôn được giữ để tàu tạo với bờ một góc α.

Gọi $\overrightarrow{v_{r\left(1\right)}},\overrightarrow{v_{r\left(2\right)}}$và $\overrightarrow{v_n}$lần lượt biểu diễn vận tốc riêng của tàu 1, tàu 2 và vận tốc dòng nước.

+ Gọi B, C là các điểm sao cho $\overrightarrow{v_{r\left(1\right)}}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{BC}.$

Khi đó tàu 1 chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là $\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{v_{r\left(1\right)}}+\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.$

Vậy tàu 1 chuyển động theo hướng $\overrightarrow{AC}$với đích đến là điểm N trên bờ d₂ và đi với độ lớn $\left.\overrightarrow{v_1}\right|=\left.\overrightarrow{AC}\right|=AC$.

Thời gian để tàu 1 di chuyển sang bờ d₂ là t₁ = $\frac{AN}{AC}$.

+ Gọi B', C'là các điểm sao cho $\overrightarrow{v_{r\left(2\right)}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Khi đó tàu 2 chuyển động với vectơ vận tốc thực tế là ${\overrightarrow{v}}_2=\overrightarrow{v_{r\left(2\right)}}+\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}+\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}.$

Vậy tàu 2 chuyển động theo hướng $\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$với đích đến là điểm N'trên bờ d₂ và đi với độ lớn $\left.\overrightarrow{v_2}\right|=\left.\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\right|=A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

Thời gian để tàu 2 di chuyển sang bờ d₂ là t₂ = $\frac{A^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

+ Vì $\overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$nên B, B', C, C' thẳng hàng và nằm trên đường thẳng song song với hai đường thẳng d₁ và d₂.

Khi đó theo định lý Thales, ta có: $\frac{AN}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{N}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$hay t₁ = t₂.

Suy ra hai tàu cần thời gian như nhau để sang được đến bờ bên kia.

Vậy hai tàu sang đến bờ bên kia cùng một lúc.