Giải Toán 10 trang 11 Tập 1 Kết nối tri thức

Giải Toán 10 trang 11 Tập 1

Bài 1.1 trang 11 Toán 10 Tập 1: Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a) Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới;

b) Bạn học trường nào?

c) Không được làm việc riêng trong giờ học;

d) Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang.

Lời giải

a) “Trung Quốc là nước đông dân nhất thế giới” là một mệnh đề vì có thể xác định được tính đúng sai của nó.

b) “Bạn học trường nào?” là một câu hỏi nên không xác định được tính đúng sai của nó. Do đó đây không là một mệnh đề.

c) “Không được làm việc riêng trong giờ học” là một câu không xác định được tính đúng sai. Do đó đây không là một mệnh đề.

d) “Tôi sẽ sút bóng trúng xà ngang” là một câu không xác định được tính đúng sai. Do đó đây không là một mệnh đề.

Bài 1.2 trang 11 Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề sau:

a) $\pi >\frac{10}{3}$;

b) Phương trình 3x + 7 = 0 có nghiệm;

c) Có ít nhất một số cộng với chính nó bằng 0;

d) 2 022 là hợp số.

Lời giải

a) Mệnh đề $\pi >\frac{10}{3}$

Ta có: $\pi \approx 3,14;\frac{10}{3}\approx 3,33$mà 3,14 < 3,33 $\Rightarrow \pi <\frac{10}{3}$. Mệnh đề ý a) là mệnh đề sai.

b) Giải phương trình: 3x + 7 = 0

$\iff 3x=-7$

$\iff x=-\frac{7}{3}$

Do đó phương trình có nghiệm.

Nên mệnh đề ý b) là đúng.

c) Ta thấy 0 + 0 = 0 do đó, c) đúng.

d) 2 022 có ước là 2 khác 1 và chính nó. Suy ra 2 022 là hợp số. Do đó mệnh đề d) đúng.

Bài 1.3 trang 11 Toán 10 Tập 1: Cho hai câu sau:

P: “Tam giác ABC là tam giác vuông”;

Q: “Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P ⇔ Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

Lời giải

Mệnh đề tương đương P ⇔ Qđược phát biểu như sau:

“Tam giác ABC là tam giác vuông nếu và chỉ nếu tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại”.

+) P suy ra Q: Nếu tam giác ABC là tam giác vuông thì tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

Đây là một mệnh đề đúng vì:

Nếu tam giác ABC có $\widehat{A}={90}^0$thì $\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0-{90}^0={90}^0=\widehat{A}$.

+) Q suy ra P: Nếu tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại thì tam giác ABC là tam giác vuông.

Đây là một mệnh đề đúng vì:

Giả sử tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}$

Xét tam giác ABC ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}={180}^0$(định lý tổng ba góc trong một tam giác)

$\iff \widehat{A}+\widehat{A}={180}^0$

$\iff \widehat{A}={90}^0$

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Vì P$\Rightarrow$Q đúng và Q$\Rightarrow$ đúng nên mệnh đề Q$\iff$P là đúng.

Do đó mệnh đề trên là mệnh đề đúng.

Bài 1.4 trang 11 Toán 10 Tập 1: Phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề sau và xác định tính đúng sai của chúng.

P: “Nếu số tự nhiên n có chữ số tận cùng là 5 thì n chia hết cho 5”.

Q: “Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”.

Lời giải

Mệnh đề đảo của của mệnh đề P là: “Nếu số tự nhiên n chia hết cho 5 thì n có chữ số tận cùng là 5”.

Theo dấu hiệu chia hết cho 5 ta biết, số tự nhiên n chia hết cho 5 khi n có tận cùng là 0 hoặc 5 nên mệnh đề đảo của mệnh đề P sai.

Ví dụ 20 chia hết cho 5 nhưng 20 lại có tận cùng là 0.

Mệnh đề đảo của mệnh đề Q là: “Nếu tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật.”

Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau chưa chắc tứ giác đó là hình chữ nhật. Do đó mệnh đề đảo của mệnh đề Q là sai.

Ví dụ: Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không phải hình chữ nhật.

Bài 1.5 trang 11 Toán 10 Tập 1: Với hai số thực a và b, xét các mệnh đề P: “a² < b²” và Q: “0 < a < b”.

a) Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q.

b) Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.

c) Xác định tính đúng sai của mỗi mệnh đề ở câu a và câu b.

Lời giải

a) Ta phát biểu mệnh đề P ⇒ Q như sau: “Với a, b là số thực, nếu a² < b² thì 0 < a < b”.

b) Ta phátbiểu mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q như sau: “Với a, b là số thực , nếu 0 < a < b thì a² < b²”.

c)

- Xét mệnh đề P ⇒ Q

Với a = -3; b = -4 thì a² = (-3)² = 9 và b² = (-4)² = 16 do đó, a² < b² (9 < 16).

Tuy nhiên 0 > a > b (0 > -3 > -4)

Do đó P ⇒ Q sai.

- Xét mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

Ta thấy mệnh đề này là một mệnh đề đúng.

Do đó mệnh đề ý a) là mệnh đề sai.

Mệnh đề ở ý b) là mệnh đề đúng.

Bài 1.6 trang 11 Toán 10 Tập 1: Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

Q: “∃n ∈ ℕ, n chia hết cho n + 1”.

Lời giải

Với n = 0, n + 1 = 1, khi đó 0 chia hết cho 1 hoặc n = -2 thì n + 1 = -1, khi đó, -2 chia hết cho -1.

Suy ra mệnh đề Q là mệnh đề đúng.

Ta phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề Q là mệnh đề $\overline{Q}$: “∀n ∈ ℕ,n không chia hết cho n + 1”. Đây là mệnh đề sai.

Bài 1.7 trang 11 Toán 10 Tập 1: Dùng kí hiệu $\forall ,\exists$để viết các mệnh đề sau:

P: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

Q: “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0”.

Lời giải

+) Mệnh đề P: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó” được viết lại như sau:

P: “∀n ∈ ℕ, n² ≥ n”.

+) Mệnh đề Q: “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0” được viết lại như sau:

Q: “∃x ∈ ℝ, x + x = 0”.