Bài 1.7 trang 11 Toán 10 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 1: Mệnh đề

Bài 1.7 trang 11 Toán 10 tập 1: Dùng kí hiệu $\forall ,\exists$để viết các mệnh đề sau:

P: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó”;

Q: “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0”.

* Lời giải:

+) Mệnh đề P: “Mọi số tự nhiên đều có bình phương lớn hơn hoặc bằng chính nó” được viết lại như sau:

P: “∀n ∈ ℕ, n² ≥ n”.

+) Mệnh đề Q: “Có một số thực cộng với chính nó bằng 0” được viết lại như sau:

Q: “∃x ∈ ℝ, x + x = 0”.

* Phương pháp giải:

-Nắm vững lý thuyết về mệnh đề để viết ký hiệu biểu diễn cho phát biểu các mệnh đề phát biểu bằng chữ

*Lý thuyến cần nắm và dạng toán về mệnh đề:

1. Mệnh đề, mệnh đề chứa biến

1.1. Mệnh đề

- Những khẳng định có tính đúng hoặc sai gọi làmệnh đề logic(gọi tắt làmệnh đề). Những câu không xác định được tính đúng sai không phải là mệnh đề.

- Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Chú ý:

- Người ta thường sử dụng các chữ cái P, Q, R, … để biểu thị các mệnh đề.

- Những mệnh đề liên quan đến toán học được gọi làmệnh đề toán học.

- Những câu nghi vấn, câu cảm thán, câu cầu khiến không phải là mệnh đề.

1.2. Mệnh đề chứa biến

- Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập D nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc vào D ta được một mệnh đề.

- Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n là P(n); mệnh đề chứa biến x, y là P(x, y), ….

2. Mệnh đề phủ định

- Để phủ định một mệnh đề P, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” hoặc “không phải” vào trước vị ngữ của mệnh đề P. Ta kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đề P là$\overline{P}$.

- Mệnh đề P và mệnh đề$\overline{P}$là hai phát biểu trái ngược nhau. Nếu P đúng thì$\overline{P}$sai, còn nếu P sai thì$\overline{P}$đúng.

3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề đảo

3.1. Mệnh đề kéo theo

- Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi làmệnh đề kéo theovà kí hiệu là P⇒Q.

- Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng P⇒Q. Khi đó ta nói:

P là giả thiết của định lí, Q là kết luận của định lí hoặc

“P là điều kiện đủ để có Q”, hoặc “Q là điều kiện cần để có P”.

Chú ý:Mệnh đề P⇒Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Do đó ta chỉ cần xét tính đúng sai của mệnh đề P⇒Q khi P đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì P⇒Q đúng, nếu Q sai thì P⇒Q sai.

3.2. Mệnh đề đảo

- Mệnh đề Q⇒P được gọi làmệnh đề đảocủa mệnh đềP⇒Q.

Nhận xét:Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng.

4. Mệnh đề tương đương

- Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mộtmệnh đề tương đươngvà kí hiệu P⇔Q .

Nhận xét:

- Nếu cả hai mệnh đề Q⇒P và P⇒Q đều đúng thì hai mệnh đề tương đương P⇔Q đúng. Khi đó ta nói“P tương đương với Q”hoặc“P là điều kiện cần và đủ để có Q” hoặc “P khi và chỉ khi Q”.

5. Mệnh đề có chứa kí hiệu∀và∃

- Kí hiệu∀đọc là “với mọi”.

- Kí hiệu∃đọc là “có một” hoặc “tồn tại”.

- Cho mệnh đề “$P\left(x\right),x\in D$”.

+ Phủ định của mệnh đề “$\forall x\in D,P\left(x\right)$” là mệnh đề “$\exists x\in D,\overline{P\left(x\right)}$”.

+ Phủ định của mệnh đề “$\exists x\in D,P\left(x\right)$” là mệnh đề “$\forall x\in D,\overline{P\left(x\right)}$”.

Chú ý:

+ Phát biểu “Với mọi số tự nhiên n” có thể kí hiệu là$\forall n\in \mathbb{N}$.

+ Phát biểu “Tồn tại số tự nhiên n” có thể kí hiệu là$\exists n\in \mathbb{N}$.