Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ

a) ${\left(x^2-2x\right)}^2-2x^2+4x-3=0$

b) $3\sqrt{x^2+x+1}-x=x^2+3$

a) Đặt m = x ² – 2x

Ta có: (x ² – 2x) ² – 2x ² + 4x – 3 = 0

⇔ (x²– 2x) ² – 2(x² – 2x) – 3 = 0

⇔ m²– 2m – 3 = 0

Phương trình m² – 2m – 3 = 0 có hệ số a = 1, b = –2, c = –3 nên có dạng a – b + c = 0

Suy ra: m₁ = –1, m₂ = 3

Với m = –1 ta có: x² – 2x = –1 ⇔ x² – 2x + 1 = 0

Phương trình x² – 2x + 1 = 0 có hệ số a = 1, b = –2, c = 1 nên có dạng a + b + c = 0

Suy ra: x₁ = x₂ = 1

Với m = 3 ta có: x² – 2x = 3 ⇔ x²– 2x – 3 = 0

Phương trình x² – 2x – 3 = 0 có hệ số a = 1, b = –2, c = –3 nên có dạng a – b + c = 0

Suy ra: x₁ = –1, x₂= 3

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {1; –1; 3}.

b) Ta có: $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$

$3\sqrt{x^2+x+1}-x=x^2+3$

$\iff 3\sqrt{x^2+x+1}-x-x^2-3=0$

$\iff x^2+x+1-3\sqrt{x^2+x+1}+2=0$

Đặt m = $\sqrt{x^2+x+1},m>0$khi đó phương trình trở thành $m^2-3m+2=0$có hệ số a = 1; b = –3; c = 2 nên có dạng: a + b + c = 0

Suy ra: $m_1=1;m_2=2$

+ Với m = 1 $\Rightarrow \sqrt{x^2+x+1}=1$

$\iff x^2+x+1=1$

$\iff x^2+x=0\iff x\left(x+1\right)=0$

$\iff \begin{array}{l}x=0\\ x=-1\end{array}$

+ Với m = 2$\Rightarrow \sqrt{x^2+x+1}=2$

$\iff x^2+2x+1=4$

$\iff x^2+x-3=0$

$\Delta =1^2-\mathrm{4.1.}\left(-3\right)=1+12=13>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2.1}=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$

$x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2.1}=\frac{-\sqrt{13}-1}{2}$

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\left.0;-1;\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right\}$.