Giải các phương trình Câu hỏi 3 trang 64 SBT Toán 9 Tập 2

a) $x^3+4x^2+x-6=0$

b) $x^3-2x^2-5x+6=0$

c) $2x^4+2\sqrt{2}{x}^3+\left(1-3\sqrt{2}\right)x^2-3x-4=0$

d) $\left(2x^2+7x-8\right)\left(2x^2+7x-3\right)-6=0$

a) $x^3+4x^2+x-6=0$

$\iff x^3+2x^2+2x^2+4x-3x-6=0$

$\iff x^2\left(x+2\right)+2x\left(x+2\right)-3\left(x+2\right)=0$

$\iff \left(x+2\right)\left(x^2+2x-3\right)=0$

$\iff \begin{array}{l}x+2=0\text{ (1)}\\ x^2+2x-3=0\text{ (2)}\end{array}$

+ Giải (1) ta có: x + 2 = 0 $\iff x=-2$

+ Giải (2) ta có: $x^2+2x-3=0$

Ta có a = 1; b = 2; c = –3 nên a + b + c = 0

Phương trình (2) có hai nghiệm $x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{-3}{1}=-3$

Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là $S\left.-3;-2;1\right\}$

b) $x^3-2x^2-5x+6=0$

$\iff x^3-x^2-x^2+x-6x+6=0$

$\iff x^2\left(x-1\right)-x\left(x-1\right)-6\left(x-1\right)=0$

$\iff \left(x-1\right)\left(x^2-x-6\right)=0$

$\iff \begin{array}{l}x-1=0\text{ (1)}\\ x^2-x-6=0\text{ (2)}\end{array}$

+ Giải (1) ta được: x – 1 = 0 $\iff x=1$

+ Giải (2) ta được: $x^2-x-6=0$

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-\mathrm{4.1.}\left(-6\right)=1+24=25>0$

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{1+\sqrt{25}}{2.1}=3$;

$x_2=\frac{1-\sqrt{25}}{2.1}=-2$

Vậy tập nghệm phương trình đã cho là $S=\left.1;-2;3\right\}$

c) $2x^4+2\sqrt{2}{x}^3+\left(1-3\sqrt{2}\right)x^2-3x-4=0$

$\iff 2x^4+2\sqrt{2}{x}^3+x^2-3\sqrt{2}{x}^2-3x-4=0$

$\iff \left(2x^4+2\sqrt{2}{x}^3+x^2\right)-3\left(\sqrt{2}{x}^2+x\right)-4=0$

$\iff {\left(\sqrt{2}{x}^2+x\right)}^2-3\left(\sqrt{2}{x}^2+x\right)-4=0$

Đặt $\sqrt{2}{x}^2+x$= t

Ta có phương trình: $t^2-3t-4=0$có a = 1; b = –3; c = –4

Phương trình có dạng a – b + c = 0 nên có hai nghiệm là:

$t_1=-1;t_2=\frac{-c}{a}=\frac{4}{1}=4$

+ Với t = –1 thì $\sqrt{2}{x}^2+x$= –1

$\iff \sqrt{2}{x}^2+x+1=0$

$\Delta =1^2-4.\sqrt{2}.1=1-4\sqrt{2}<0$ phương trình vô nghiệm

+ Với t = 4 thì $\sqrt{2}{x}^2+x$= 4

$\iff \sqrt{2}{x}^2+x-4=0$

$\Delta =1^2-4\sqrt{2}.\left(-4\right)=1+16\sqrt{2}>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-1+\sqrt{1+16\sqrt{2}}}{2.\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{2+32\sqrt{2}}}{4}$;

$x_2=\frac{-1-\sqrt{1+16\sqrt{2}}}{2.\sqrt{2}}=\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{2+32\sqrt{2}}}{4}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left.\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{2+32\sqrt{2}}}{4};\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{2+32\sqrt{2}}}{4}\right\}$

d) $\left(2x^2+7x-8\right)\left(2x^2+7x-3\right)-6=0$

$\iff \left.\left(2x^2+7x-3\right)-5\right]\left(2x^2+7x-3\right)-6=0$

$\iff {\left(2x^2+7x-3\right)}^2-5\left(2x^2+7x-3\right)-6=0$

Đặt $2x^2+7x-3=t$ ta có phương trình $t^2-5t-6=0$ có a = 1; b = –5; c = –6 nên a – b + c = 0

Phương trình có hai nghiệm $t_1=-1;t_2=\frac{6}{1}=6$

+ Với t = –1 thì $2x^2+7x-3=-1$

$\iff 2x^2+7x-3+1=0$

$\iff 2x^2+7x-2=0$

$\Delta =7^2-\mathrm{4.2.}\left(-2\right)=49+16=65>0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-7+\sqrt{65}}{2.2}=\frac{-7+\sqrt{65}}{4}$;

$x_2=\frac{-7-\sqrt{65}}{2.2}=\frac{-7-\sqrt{65}}{4}$

+ Với t = 6 thì $2x^2+7x-3=6$

 $\iff 2x^2+7x-3-6=0$

$\iff 2x^2+7x-9=0$ có a = 2; b = 7; c = –9 nên a + b + c = 0

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=1;x_2=\frac{c}{a}=\frac{-9}{2}$

Vậy tập nghiệm của phương trình ban đầu là $S=\left.\frac{-7+\sqrt{35}}{4};\frac{-7-\sqrt{35}}{4};1;\frac{-9}{1}\right\}$