Cho phương trình: x^4 – 13x^2 + m = 0 . Tìm các giá trị của m

a) Có 4 nghiệm phân biệt

b) Có 3 nghiệm phân biệt

c) Có 2 nghiệm phân biệt

d) Có một nghiệm

e) Vô nghiệm.

Cho phương trình x⁴ – 13x² + m = 0(1)

Đặt $x^2=t\Rightarrow t\ge 0$, khi đó phương trình trở thành

$t^2-13t+m=0$(2)

$\Delta ={13}^2-\mathrm{4.1.}m=169-4m$

Hệ thức Vi – ét nếu phương trình có nghiệm

$\begin{array}{l}{t}_1+t_2=\frac{-b}{a}=13\\ t_1.t_2=\frac{c}{a}=m\end{array}$

a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

Khi đó để (2) có hai nghiệm dương phân biệt thì:

$\begin{array}{l}\Delta >0\\ t_1+t_2>0\\ t_1.t_2>0\end{array}\iff \begin{array}{l}169-4m>0\\ 13>0\\ m>0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}4m<169\\ m>0\end{array}\iff \begin{array}{l}m<\frac{169}{4}\\ m>0\end{array}\Rightarrow 0<m<\frac{169}{4}$

Vậy $0<m<\frac{169}{4}$thì phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt.

b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0

Khi đó để (2) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm bằng 0 thì:

$\begin{array}{l}\Delta >0\\ t_1+t_2>0\\ t_1.t_2=0\end{array}\iff \begin{array}{l}169-4m>0\\ 13>0\\ m=0\end{array}$

$\iff \begin{array}{l}4m<169\\ m=0\end{array}\iff \begin{array}{l}m<\frac{169}{4}\\ m=0\end{array}\Rightarrow m=0$

Vậy m = 0 thì phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm

Trường hợp 1: Nghiệm kép dương

$\begin{array}{l}\Delta =0\\ t_1+t_2>0\end{array}\iff \begin{array}{l}169-4m=0\\ 13>0\end{array}\iff m=\frac{169}{4}$

Trường hợp 2: 1 nghiệm dương; 1 nghiệm âm

Phương trình (2) có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm dương khi

$\begin{array}{l}\Delta =169-4m>0\\ t_1.t_2=m<0\end{array}\iff \begin{array}{l}m<\frac{169}{4}\\ m<0\end{array}\Rightarrow m<0$

Vậy m = $\frac{169}{4}$hoặc m < 0 thì phương trình có nghiệm kép.

d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.

Ta thấy, với Δ = 0 phương trình (2) có nghiệm số kép t₁ = t₂ = $\frac{-b}{2a}=\frac{13}{2}$≠ 0( không thỏa mãn)

Nếu phương trình (2) có một nghiệm t₁ = 0. Theo hệ thức Vi–ét ta có:

t₁ + t₂ = 13 ⇔ t₂ = 13 – t₁ = 13 – 0 = 13 > 0 ( không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm

e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.

Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi–ét ta có:

t₁ + t₂ = 13 > 0 (vô lý)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm.

Suy ra: Δ = 169 – 4m < 0 ⇔ m > $\frac{169}{4}$

Vậy m > $\frac{169}{4}$thì phương trình đã cho vô nghiệm.