Giải các phương trình mũ

Giải Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Bài 2 trang 84 Toán lớp 12 Giải tích:

a) 3^{2x – 1}  + 3^2x = 108;

b) 2^x+1 + 2^{x – 1}  + 2^x = 28;

c) 64^x – 8^x – 56 = 0;

d) 3.4^x – 2.6^x = 9^x.

Lời giải:

a) 3^{2x – 1}  + 3^2x = 108

$\iff$3^{2x – 1}  + 3^{2x – 1} . 3 = 108

$\iff$3^{2x – 1} . (1 + 3) = 108

$\iff$3^{2x – 1}  = 108 : 4

$\iff$ 3^{2x – 1} = 27

$\iff$3^{2x – 1} = 3³

$\iff$2x – 1 = 3

$\iff$ 2x = 4 $\iff$ x = 2

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

b) 2^x+1 + 2^{x – 1}  + 2^x = 28

 $\iff$2^{x – 1} . 2² + 2^{x – 1}  + 2^{x – 1} . 2 = 28

 $\iff$2^{x – 1} .(4 + 1 + 2) = 28

 $\iff$2^{x – 1} = 28 : 7

 $\iff$2^{x – 1} = 4

 $\iff$2^{x – 1}  = 2²

 $\iff$x – 1 = 2

 $\iff$x = 3

Vậy phương trình có nghiệm x = 3. 

c) 64^x – 8^x – 56 = 0

$\iff$ (8²)^x – 8^x – 56 = 0 

$\iff$(8^x)² – 8^x – 56 = 0  (*)

Đặt 8^x = t (t > 0, do 8^x > 0 với mọi x)

Khi đó (*)$\iff$ t² – t – 56 = 0

$\iff \begin{array}{l}t=8\left(tm\right)\\ t=-7\left(ktm\right)\end{array}$

Với t = 8 thì 8^x = 8 = 8¹

Suy ra x = 1.

Vậy phương trình có nghiệm x = 1.

d) 3.4^x – 2.6^x = 9^x

$\iff$ 3.4^x – 2.6^x –  9^x = 0

$\iff 3.\frac{4^x}{9^x}-2.\frac{6^x}{9^x}-1=0$ (do 9^x > 0)

$\iff 3.{\left(\frac{4}{9}\right)}^x-2.{\left(\frac{6}{9}\right)}^x-1=0\iff 3.{\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right)}^x-2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^x-1=0\iff 3.{\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^x\right)}^2-2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^x-1=0(*)$

Đặt ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=t\left(t>0\right)$

(*) $\iff$3t² – 2t – 1 = 0 

$\iff \begin{array}{l}t=1\left(tm\right)\\ t=-\frac{1}{3}\left(ktm\right)\end{array}$

Với t = 1 thì ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x=1\iff x=0$

Vậy phương trình có nghiệm x = 0.