Giải các phương trình lôgarit

Giải Toán 12 Bài 5: Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Bài 4 trang 85 Toán lớp 12 Giải tích: Giải các phương trình lôgarit:

a) $\frac{1}{2}\log \left(x^2+x-5\right)=\log 5x+\log \frac{1}{5x}$

b) $\frac{1}{2}\log \left(x^2-4x-1\right)=\log 8x-\log 4x;$

c) ${\log }_{\sqrt{2}}x+4{\log }_{4}x+{\log }_{8}x=13$.

Lời giải:

a)  $\frac{1}{2}\log \left(x^2+x-5\right)=\log 5x+\log \frac{1}{5x}$(1)

ĐKXĐ:

$\begin{array}{l}{x}^2+x-5>0\\ 5x>0\\ \frac{1}{5x}>0\end{array}\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}x>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}\\ x<\frac{-1-\sqrt{21}}{2}\end{array}\\ x>0\end{array}\iff x>\frac{-1+\sqrt{21}}{2}$

Khi đó:(1)

$\iff \log \sqrt{x^2+x-5}=\log \left(5x.\frac{1}{5x}\right)$

$\iff \log \sqrt{x^2+x-5}=\log 1\iff \sqrt{x^2+x-5}=1\iff x^2+x–5=1\iff x^2+x–6=0\iff \begin{array}{l}x=2\left(tm\right)\\ x=-3\left(ktm\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm là x = 2.

b) $\frac{1}{2}\log \left(x^2-4x-1\right)=\log 8x-\log 4x$ 

ĐKXĐ:

$\begin{array}{l}{x}^2-4x-1>0\\ 8x>0\\ 4x>0\end{array}\iff \begin{array}{l}\begin{array}{l}x>2+\sqrt{5}\\ x<2-\sqrt{5}\end{array}\\ x>0\end{array}\iff x<2+\sqrt{5}$

Khi đó:(2)

$\iff \log \sqrt{x^2-4x-1}=\log \frac{8x}{4x}$

$\iff$ x² – 4x – 1 = 4

$\iff$x² – 4x – 5 = 0

$\iff \begin{array}{l}x=5\left(tm\right)\\ x=-1\left(ktm\right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.

c)  ${\log }_{\sqrt{2}}x+4{\log }_{4}x+{\log }_{8}x=13$ (3)

ĐKXĐ: x > 0

Khi đó: (3)

$\iff {\log }_{2^{\frac{1}{2}}}x+4{\log }_{2^2}x+{\log }_{2^3}x=13$

$\iff 2{\log }_{2}x+4.\frac{1}{2}{\log }_{2}x+\frac{1}{3}{\log }_{2}x=13\iff \left(2+\frac{4}{2}+\frac{1}{3}\right){\log }_{2}x=13\iff \frac{13}{3}{\log }_{2}x=13\iff {\log }_{2}x=3\iff x=2^3\iff x=8(t/m)$

Vậy nghiệm của phương trình là x = 8.