Giải các bất phương trình lôgarit sau: log3 (2x + 1) lớn hơn bằng 2

Giải SBT Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 6.34 trang 19 SBT Toán 11 Tập 2: Giải các bất phương trình lôgarit sau:

a) log₃ (2x + 1) ≥ 2; b) log₂ (3x – 1) < log₂ (9 – 2x);

c) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)\le {\log }_{\frac{1}{2}}\left(4x-5\right)$; d) log₂ (2x – 1) ≤ log₄ (x + 1)².

Lời giải:

a) Điều kiện $2x+1>0\iff x>-\frac{1}{2}$ .

Ta có log₃ (2x + 1) ≥ 2 $\iff$ 2x + 1 ≥ 3² $\iff$ 2x + 1 ≥ 9 $\iff$ 2x ≥ 8 $\iff$ x ≥ 4.

Kết hợp với điều kiện, ta được x ≥ 4.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [4; +$\infty$).

b) Điều kiện $\begin{array}{l}3x-1>0\\ 9-2x>0\end{array}\iff \begin{array}{l}x>\frac{1}{3}\\ x<\frac{9}{2}\end{array}\iff \frac{1}{3}<x<\frac{9}{2}$ .

Ta có:

log₂ (3x – 1) < log₂ (9 – 2x)

$\iff$ 3x – 1 < 9 – 2x

$\iff$ 3x + 2x < 9 + 1

$\iff$ 5x < 10 $\iff$ x < 2.

Kết hợp với điều kiện, ta được $\frac{1}{3}<x<2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\frac{1}{3};2\right)$ .

c) Điều kiện: $\begin{array}{l}x+1>0\\ 4x-5>0\end{array}\iff \begin{array}{l}x>-1\\ x>\frac{5}{4}\end{array}\iff x>\frac{5}{4}$ .

Ta có:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)\le {\log }_{\frac{1}{2}}\left(4x-5\right)$

$\iff x+1\ge 4x-5\iff 3x\le 6\iff x\le 2$ .

Kết hợp điều kiện, ta có: $\frac{5}{4}<x\le 2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\frac{5}{4};2\right]$ .

d) Điều kiện: $\begin{array}{l}2x-1>0\\ {\left(x+1\right)}^2>0\end{array}\iff \begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\ x\ne -1\end{array}\iff x>\frac{1}{2}$.

Ta có:

${\log }_2\left(2x-1\right)\le {\log }_4{\left(x+1\right)}^2\iff {\log }_2\left(2x-1\right)\le \frac{{\log }_2{\left(x+1\right)}^2}{{\log }_{2}4}$

$\iff {\log }_2\left(2x-1\right)\le \frac{{\log }_2{\left(x+1\right)}^2}{2}\iff 2{\log }_2\left(2x-1\right)\le {\log }_2{\left(x+1\right)}^2$

$\iff {\log }_2{\left(2x-1\right)}^2\le {\log }_2{\left(x+1\right)}^2$

$\iff {\left(2x-1\right)}^2\le {\left(x+1\right)}^2\iff 4x^2-4x+1\le x^2+2x+1$

$\iff 3x^2-6x\le 0\iff 3x\left(x-2\right)\le 0\iff 0\le x\le 2$.

Kết hợp với điều kiện, ta có: $\frac{1}{2}<x\le 2$ .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\frac{1}{2};2\right]$ .