Chứng minh các đồng nhất thức (1 - cos x + cos 2x / sin 2x - sin x) = cot x

Giải Toán 10 Ôn tập chương 6

Video Giải Bài 7 trang 156 Toán lớp 10 Đại số

Bài 7 trang 156 Toán lớp 10 Đại số:

a) $\frac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x}=\cot x$

b) $\frac{\sin x+\sin \frac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \frac{x}{2}}=\tan \frac{x}{2}$

c) $\frac{2\cos 2x-\sin 4x}{2\cos 2x+\sin 4x}={\tan }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)$

d) $\tan x-\tan y=\frac{\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}$

Lời giải:

a) Ta có:

$\frac{1-\cos x+\cos 2x}{\sin 2x-\sin x}$

$=\frac{1-\cos x+2{\cos }^{2}x-1}{2\sin x\cos x-\sin x}$

$=\frac{2{\cos }^{2}x-\cos x}{2\sin x\cos x-\sin x}$

$=\frac{\cos x\left(2\cos x-1\right)}{\sin x\left(2\cos x-1\right)}$

$=\frac{\cos x}{\sin x}$

$=\cot x$ (điều phải chứng minh).

b) Ta có:

$\frac{\sin x+\sin \frac{x}{2}}{1+\cos x+\cos \frac{x}{2}}$

$=\frac{\sin \left(2\cdot \frac{x}{2}\right)+\sin \frac{x}{2}}{1+\cos \left(2\cdot \frac{x}{2}\right)+\cos \frac{x}{2}}$

$=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{1+2{\cos }^2\frac{x}{2}-1+\cos \frac{x}{2}}$

$=\frac{\sin \frac{x}{2}\left(2\cos \frac{x}{2}+1\right)}{2{\cos }^2\frac{x}{2}+\cos \frac{x}{2}}$

$=\frac{\sin \frac{x}{2}\left(2\cos \frac{x}{2}+1\right)}{\cos \frac{x}{2}\left(2\cos \frac{x}{2}+1\right)}$

$=\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}$$=\tan \frac{x}{2}$ (điều phải chứng minh)

c) Ta có:

$\frac{2\cos 2x-\sin 4x}{2\cos 2x+\sin 4x}=\frac{2\cos 2x-2\sin 2x\cos 2x}{2\cos 2x+2\sin 2x\cos 2x}$

$=\frac{2\cos 2x\left(1-\sin 2x\right)}{2\cos 2x\left(1+\sin 2x\right)}$

$=\frac{1-\sin 2x}{1+\sin 2x}$

$=\frac{1-\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)}{1+\cos \left(\frac{\pi }{2}-2x\right)}$

$=\frac{1-\cos \left.2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right]}{1+\cos \left.2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right]}$

$=\frac{1-\left.1-2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)\right]}{1+\left.2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)-1\right]}$

$=\frac{2{\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)}{2{\cos }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)}$

$={\tan }^2\left(\frac{\pi }{4}-x\right)$ (điều phải chứng minh).

d) $\tan x-\tan y=\frac{\sin x}{\cos x}-\frac{\sin y}{\cos y}$

$=\frac{\sin x\cos y-\sin y\cos x}{\cos x\cos y}$

$=\frac{\sin \left(x-y\right)}{\cos x\cos y}$ (điều phải chứng minh).