Chứng minh các đẳng thức sau: (a+b)^2-(a-b)^2=4ab

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 11 trang 14 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ${\left(a+b\right)}^2-{\left(a-b\right)}^2=4ab$;

b) $a^3+b^3=\left(a+b\right)\left[{\left(a-b\right)}^2+ab\right]$;

c) $2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+{\left(a+b\right)}^2+{\left(a-b\right)}^2=4a^2$;

d) ${\left(a+b+c\right)}^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$.

Lời giải:

a) ${\left(a+b\right)}^2-{\left(a-b\right)}^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2$

$=\left(a^2-a^2\right)+\left(2ab+2ab\right)+\left(b^2-b^2=\right)4ab$ (đpcm)

b) 

$a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a+b\right)\left(a^2-2ab+b^2+ab\right)=\left(a+b\right)\left[{\left(a-b\right)}^2+ab\right]$

c) 

$2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+{\left(a+b\right)}^2+{\left(a-b\right)}^2=2\left(a^2-b^2\right)+a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2$

$=\left(2a^2+a^2+a^2\right)+\left(b^2+b^2-2b^2\right)+\left(2ab-2ab\right)=4a^2$

d)

${\left(a+b+c\right)}^2={\left[\left(a+b\right)+c\right]}^2={\left(a+b\right)}^2+2\left(a+b\right)c+c^2$

$=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac$