Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N lần lượt của các

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Đường trung bình của tam giác

Bài 19* trang 66 SBT Toán 8 Tập 2: Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Đường thẳng đi qua trung điểm M và N lần lượt của các cạnh AB và CD cắt các đường thẳng AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh: $\widehat{AEM}=\widehat{MFB}.$

Lời giải:

Lấy I là trung điểm của BD.

Xét ∆ABD có M, I lần lượt là trung điểm của AB, BD nên MI là đường trung bình của ∆ABD

Suy ra MI // AD và $MI=\frac{AD}{2}$ (1)

Xét ∆BDC có N, I lần lượt là trung điểm của CD, BD nên NI là đường trung bình của ∆BDC

Suy ra NI // BC và $NI=\frac{BC}{2}$ (2)

Mà AD = BC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra MI = NI, nên tam giác IMN cân ở I.

Do đó $\widehat{IMN}=\widehat{INM}.$

Lại có $\widehat{IMN}=\widehat{AEM}$ (hai góc đồng vị do IM // AE)

Suy ra $\widehat{INM}=\widehat{AEM}$

Mặt khác $\widehat{INM}=\widehat{MFB}$ (hai góc so le trong do IN // FB).

Suy ra $\widehat{AEM}=\widehat{MFB}.$