Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), có AD là đường phân giác của góc A

Giải SBT Toán 8 (Kết nối tri thức) Bài tập cuối chương 9

Bài 9.65 trang 69 SBT Toán lớp 8 Tập 2:Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), có AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt cạnh AC tại E và cắt tia BA tại F. Chứng minh rằng:

a) ∆BDF ᔕ ∆EDC;

b) BD = DE.

Lời giải:

a)

Tam giác FBD và tam giác CED cùng vuông tại D có:

$\widehat{F}=\widehat{C}\left(=90°-\widehat{B}\right)$.

Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (góc nhọn).

b)

Tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEC vuông tại D có:

$\widehat{C}$ chung

Do đó, ∆ABC ᔕ ∆DEC (góc nhọn). Suy ra $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}$ .

Vì AD là phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ .

Suy ra $\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{BD}$ .

Do đó $\frac{AB}{DE}=\frac{AB}{BD}$ . Suy ra BD = DE.