Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC

Bài 9 trang 95 SBT Toán 11: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy không là hình thang. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trên SO lấy điểm I sao cho SI = 2IO.

a) Xác định các giao điểm M, N lần lượt của SA, SD với mặt phẳng (IBC).

b*) Chứng minh rằng các đường thẳng AD, BC và MN đồng quy.

Lời giải:

a)

Giao điểm$M$của$SA$và$\left(IBC\right)$:

Ta nhận xét rằng$I\in SO\subset \left(SAC\right)\Rightarrow CI\subset \left(SAC\right)$.

Trên mặt phẳng$\left(SAC\right)$, gọi$\left\{M\right\}=CI\cap SA$.

Do$IC\subset \left(IBC\right)$, nên$\left\{M\right\}=\left(IBC\right)\cap SA$.

Vậy$M$là giao điểm của$\left(IBC\right)$và$SA$.

Giao điểm$N$của$SD$và$\left(IBC\right)$:

Ta nhận xét rằng$I\in SO\subset \left(SBD\right)\Rightarrow BI\subset \left(SBD\right)$.

Trên mặt phẳng$\left(SBD\right)$, gọi$\left\{N\right\}=BI\cap SD$.

Do$IB\subset \left(IBC\right)$, nên$\left\{N\right\}=\left(IBC\right)\cap SD$.

Vậy$N$là giao điểm của$\left(IBC\right)$và$SD$.

b) Trên mặt phẳng$\left(ABCD\right)$, gọi$K$là giao điểm của$AD$và$BC$.

Ta có$\{\begin{array}{l}M\in SA\subset \left(SAD\right)\\ M\in \left(IBC\right)\end{array}\Rightarrow M\in \left(SAD\right)\cap \left(IBC\right)$.

Mặt khác,$\{\begin{array}{l}N\in SD\subset \left(SAD\right)\\ N\in \left(IBC\right)\end{array}\Rightarrow N\in \left(SAD\right)\cap \left(IBC\right)$.

Vậy giao tuyến của$\left(SAD\right)$và$\left(IBC\right)$là đường thẳng$MN$.

Do$AD\in \left(SAD\right)$,$BC\in \left(IBC\right)$,$\left\{K\right\}=AD\cap BC$, ta suy ra$K$nằm trên giao tuyến của$\left(SAD\right)$và$\left(IBC\right)$, tức là$K\in MN$.

Vậy ba đường thẳng$AD$,$BC$,$MN$cắt nhau tại$K$.