Cho hàm số y = x^2+4x-1/x-1. a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Giải Toán 12Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 1 trang 37

Bài 13 trang 38 Toán 12 Tập 1:Cho hàm số$y=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$.

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].

Lời giải:

a) Xét hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$.

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên:

● Chiều biến thiên:

Đạo hàm y' = $\frac{x^2-2x-3}{{\left(x-1\right)}^2}$. Ta có y' = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 3.

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (3; + ∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Trên các khoảng (– 1; 1) và (1; 3), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

● Cực trị:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và y_CT = 10.

Hàm số đạt cực đại tại x = – 1 và y­_CĐ = 2.

● Các giới hạn tại vô cực và tiệm cận:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty$

Ta có $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x\left(x-1\right)}=1$ và $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+4x-1}{x-1}-x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x-1}{x-1}=5$.

Suy ra đường thẳng y = x + 5 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=-\infty ;\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+4x-1}{x-1}=+\infty$. Suy ra đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

● Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Ta có y = 0 ⇔ $\frac{x^2+4x-1}{x-1}=0$ ⇔ x = $-2+\sqrt{5}$ hoặc x = $-2-\sqrt{5}$.

Vậy đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm $\left(-2-\sqrt{5};0\right)$ và điểm $\left(-2+\sqrt{5};0\right)$.

Đồ thị hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 1).

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 6).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 1 và y = x + 5.

b) Xét hàm số $y=\frac{x^2+4x-1}{x-1}$ với x ∈ [2; 4].

Trên khoảng (2; 4), y' = 0 khi x = 3.

Ta có y(2) = 11; y(3) = 10; y(4) = $\frac{31}{3}$.

Vậy $\underset{\left.2;4\right]}{\max }y=11$ tại x = 2 và $\underset{\left.2;4\right]}{\min }y=10$ tại x = 3.