Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh: n^5 – n chia hết cho 5 với mọi n thuộc ℕ*

Giải Chuyên đề Toán 10 Cánh diều Bài 2: Nhị thức newton

Bài 9 trang 38 Chuyên đề Toán 10:

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:

a) n⁵ – n chia hết cho 5 $\forall$n $\in$ℕ^*;

b) n⁷ – n chia hết cho 7 $\forall$n $\in$ℕ^*.

Lời giải:

a)

+) Với n = 1, ta có: 1⁵ – 1 = 0 ⁝ 5.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)⁵ – (k + 1) ⁝ 5.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k⁵ – k⁝ 5.

Khi đó:

(k + 1)⁵ – (k + 1)

$=\left(k^5+5k^4+10k^3+10k^2+5k+1\right)$$-\left(k+1\right)$

$=\left(k^5-k\right)+$$\left(5k^4+10k^3+10k^2+5k\right)$

Mà $\left(k^5-k\right)$và $\left(5k^4+10k^3+10k^2+5k\right)$đều chia hết cho 5, do đó

$\left(k^5-k\right)$$+\left(5k^4+10k^3+10k^2+5k\right)$⁝ 5 hay (k + 1)⁵ – (k + 1) ⁝ 5.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ℕ^*.

b)

+) Với n = 1, ta có: 1⁷ – 1 = 0 ⁝ 7.

Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)⁷ – (k + 1) ⁝ 7.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k⁷ – k⁝ 7.

Khi đó:

(k + 1)⁷ – (k + 1)

Mà $\left(k^7-k\right)$và $\left(7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k\right)$đều chia hết cho 7, do đó

$\left(k^7-k\right)+$$\left(7k^6+21k^5+35k^4+35k^3+21k^2+7k\right)$⁝ 7 hay (k + 1)⁷ – (k + 1) ⁝ 7.

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ℕ^*.