Bài 7 trang 82 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Bài 7 trang 82 Toán 11 Tập 2:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a và có O là giao điểm hai đường chéo của đáy.

a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB.

b) Tính thể tích của khối chóp.

Lời giải:

a) Kẻ OH ⊥ SB (H$\in$SB)

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều$\Rightarrow$SO ⊥ (ABCD)$\Rightarrow$SO ⊥AC.

Tứ giác ABCD là hình vuông suy ra AC ⊥ BD$\Rightarrow$AC ⊥(SBD)$\Rightarrow$AC ⊥ OH.

Mà$\mathrm{OH}\perp \mathrm{SB}$

Do đó d(AC, SB) = OH

• Xét ΔABD vuông tại A, ta có:

$\mathrm{BD}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AD}}^2}=a\sqrt{2}\Rightarrow \mathrm{BO}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

• Xét ΔSBO vuông tại O, ta có:

$\mathrm{SO}=\sqrt{{\mathrm{SB}}^2-{\mathrm{BO}}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

• Xét ΔSBO vuông tại O có SO = BO nên ΔSBO vuông cân tại O

Suy ra OH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.

Do đó$\mathrm{OH}=\frac{1}{2}\mathrm{SB}=\frac{a}{2}$

Vậy$\text{d}\left(\text{AC},\text{SB}\right)=\frac{a}{2}$

b)${\text{S}}_{\mathrm{ABCD}}=a^2$.

Thể tích khối chóp là:$V=\frac{1}{3}.\mathrm{SO}.S_{\mathrm{ABC}\text{D}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}.$