Bài 1 trang 81 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 4: Khoảng cách trong không gian

Bài 1 trang 81 Toán 11 Tập 2:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo,$\widehat{\mathrm{ABC}}=60°,\mathrm{SO}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right),$$\mathrm{SO}=a\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD).

Lời giải:

Kẻ OI ⊥ CD, OH ⊥ SI

Ta có:$\begin{array}{l}\mathrm{SO}\perp \left(\mathrm{ABCD}\right)\\ \mathrm{OI}\perp \mathrm{CD}\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}\mathrm{CD}\perp \mathrm{SO}\\ \mathrm{OI}\perp \mathrm{CD}\end{array}\Rightarrow \mathrm{CD}\perp \left(\mathrm{SOI}\right)\Rightarrow \mathrm{CD}\perp \mathrm{OH}$

Mà OH ⊥ SI Suy ra OH ⊥ (SCD)

Do đó d(O, (SCD)) = OH.

Ta có: ΔABC đều$\Rightarrow$AC = a$\Rightarrow \mathrm{OC}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=\frac{a}{2}$

• Xét ΔABD, áp dụng định lí cos, ta có:

$\mathrm{BD}=\sqrt{{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AD}}^2-2.\mathrm{AB}.\mathrm{AD}.\cos \widehat{\mathrm{BAD}}}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow \mathrm{OD}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

• Xét ΔOCD vuông tại O có OI là đường cao:

$\frac{1}{{\mathrm{OI}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{OC}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OD}}^2}\Rightarrow \mathrm{OI}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

Ta có SO ⊥ (ABCD)$\Rightarrow$SO ⊥ OI

Do đó, tam giác SOI vuông tại O có OH là đường cao nên

$\frac{1}{{\mathrm{OH}}^2}=\frac{1}{{\mathrm{SO}}^2}+\frac{1}{{\mathrm{OI}}^2}\Rightarrow \mathrm{OH}=\frac{a\sqrt{51}}{17}$

$\Rightarrow d\left(O,\left(\mathrm{SCD}\right)\right)=\frac{a\sqrt{51}}{17}.$

Vậy khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) là$\frac{a\sqrt{51}}{17}$.