Bài 13 trang 121 Toán 8 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương 5 

Bài 13 trang 121 Toán 8 Tập 1:Cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh:

a) ΔABM = ΔBCN;

b)$\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$;

c) AM⊥BN.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Vì M là trung điểm của BC nên$MB=MC=\frac{1}{2}BC$;

N là trung điểm của CD nên$NC=ND=\frac{1}{2}CD$.

Do đó MB = MC = NC = ND.

Xét ΔABM và ΔBCN có:

$\widehat{ABM}=\widehat{BCN}=90°$(do ABCD là hình vuông);

AB = CD (chứng minh trên);

MB = NC (chứng minh trên)

Do đó ΔABM = ΔBCN (hai cạnh góc vuông).

b) Vì ΔABM = ΔBCN (câu a) nên$\widehat{BAM}=\widehat{CBN}$(hai góc tương ứng).

Hay$\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$.

c) Xét ΔABM vuông tại B có$\widehat{BAO}+\widehat{BMO}=90°$

Mà$\widehat{BAO}=\widehat{MBO}$(câu b) nên$\widehat{MBO}+\widehat{BMO}=90°$.

Xét ΔMBO có$\widehat{MBO}+\widehat{BMO}+\widehat{BOM}=180°$(tổng ba góc trong một tam giác)

Suy ra$\widehat{BOM}=180°-\left(\widehat{MBO}+\widehat{BMO}\right)=180°-90°=90°$.

Do đó OM⊥BO hay AM⊥BN.