Bài 12 trang 121 Toán 8 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 8

Giải Toán 8 Bài tập cuối chương 5 

Bài 12 trang 121 Toán 8 Tập 1:Cho hình thoi ABCD và hình bình hành BCMD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a)$OD=\frac{1}{2}CM$và tam giác ACM là tam giác vuông;

b) Ba điểm A, D, M thẳng hàng;

c) Tam giác DCM là tam giác cân.

Lời giải:

a) • Do ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Suy ra$OD=\frac{1}{2}BD$.

Do BCMD là hình bình hành nên BD = CM.

Do đó$OD=\frac{1}{2}CM$.

• Ta có: CM // BD (do BCMD là hình bình hành)

AC⊥BD (chứng minh trên)

Do đó CM⊥AC hay$\widehat{MCA}=90°$

Vây tam giác ACM là tam giác vuông.

b) Vì ABCD là hình thoi nên AD // BC

Vì BCMD là hình bình hành nên DM // BC

Do đó qua điểm D có hai đường thẳng AD và DM cùng song song với đường thẳng BC nên AD trùng với DM (Tiên đề Euclid)

Hay ba điểm A, D, M thẳng hàng.

c) Ta có: BD // CM (chứng minh câu a) nên:

•$\widehat{BDC}=\widehat{DCM}$(so le trong);(1)

•$\widehat{ADB}=\widehat{DMC}$(đồng vị)(2)

Do ABCD là hình thoi nên DB là tia phân giác của góc ADC

Do đó$\widehat{ADB}=\widehat{BDC}$(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra$\widehat{DCM}=\widehat{DMC}$.

Xét ΔDCM có$\widehat{DCM}=\widehat{DMC}$nên là tam giác cân tại D.