Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a

Giải Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 1 trang 25 Toán lớp 12 Hình học: Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

*Lời giải

Gọi ABCD là tứ diện đều cạnh a.

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

$\Rightarrow$HB = HC = HD nên H nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. (1)

Lại có: AB = AC = AD vì ABCD là tứ diện đều

$\Rightarrow$HA là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

$\Rightarrow$HA ⊥ (BCD)

Vì tam giác BCD là tam giác đều nên H đồng thời trọng tâm tam giác BCD. Gọi M là trung điểm của CD.

Xét tam giác BCD ta có:

$BM=BD\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Theo tính chất trọng tâm ta có:

$BH=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AHB ta được:

$A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2=a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{2a^2}{3}$

$\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Diện tích tam giác đều BCD cạnh a là:

$S_{BCD}=\frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Do đó, thể tích khối tứ diện đều ABCD cạnh a là:

$V=\frac{1}{3}AH.S_{BCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}\left(đvtt\right).$

*Phương pháp giải

- Vận dụng công thức về thể tích khối tứ diện:

+ tính Diện tích đáy là tam giác đều cạnh a

+ tính chiều cao của khối tứ diện đều = khoảng cách từ đỉnh A xuống mặt phẳng đấy BCD

*Lý thuyết nắm thêm về thể tích khối tứ diện:

I. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V_(H)thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V_(H)= 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H₁) và (H₂) bằng nhau thì V_(H1)= V_(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂) thì:

V_(H)= V_(H1)+ V_(H2).

Số dương V_(H)nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí :Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

II. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí:Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

III. Thể tích khối chóp.

Định lí.Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:$V=\frac{1}{3}B.h$.