Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a

Giải Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 2 trang 25 Toán lớp 12 Hình học: Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.

* Lời giải:

Gọi khối bát diện đều là SABCDS’ cạnh a.

* Ta chia khối bát diện thành hai khối chóp tứ giác đều bằng nhau là:

S.ABCD và S’.ABCD có cạnh bằng a.

Khi đó,

V_SABCDS’ = V_S.ABCD + V_S’.ABCD

= 2.V_S.ABCD

Gọi O là giao điểm của AC và BD suy ra:

SO ⊥ (ABCD)

* Ta tính thể tính khối chóp tứ giác đều cạnh a.

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên có diện tích là:

S_ABCD = a²

Ta có:

$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AO=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác SOA ta có:

$S{O}^2=S{A}^2-A{O}^2=a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2}$

$\Rightarrow SO=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Thể tích khối chóp tứ giác đều S.ABCD là:

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a}{\sqrt{2}}.a^2=\frac{a^3}{3\sqrt{2}}$

Thể tích khối bát diện đều cạnh a là:

$V_{SABCD{S}^{\text{'}}}=2.V_{S.ABCD}=2.\frac{a^3}{3\sqrt{2}}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}\left(đvtt\right).$

* Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp:

Thể tích khối chóp.

Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:$V=\frac{1}{3}B.h$.

* Lý thuyết cần nắm và dạng bài toán về thể tích khối đa diện:

I. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V_(H)thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V_(H)= 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H₁) và (H₂) bằng nhau thì V_(H1)= V_(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H₁) và (H₂) thì:

V_(H)= V_(H1)+ V_(H2).

Số dương V_(H)nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí :Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

II. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí:Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h

III. Thể tích khối chóp.

Định lí.Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:$V=\frac{1}{3}B.h$.