Cho khối chóp S.ABC

Giải Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 4 trang 25 Toán lớp 12 Hình học: Cho khối chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng: .

Lời giải:

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A’ trên mp(SBC),

Đặt AH = h₁ và A’K = h₂, S₁ và S₂ lần lượt là diện tích của hai tam giác SBC và SB’C’.

* Do A’K // AH nên bốn điểm A, A’; K và H đồng phẳng. (1)

Lại có, 3 điểm A, S, H đồng phẳng (2).

Từ (1) và (2) suy ra, 5 điểm A, A’, S, H và K đồng phẳng.

Trong mp(ASH) ta có:

$\begin{array}{l}{A}^{\text{'}}K\perp SK\\ AH\perp SH\\ A^{\text{'}}K//AH\end{array}\Rightarrow SK\equiv SH$

Ba điểm S, H và K thẳng hàng.

* Ta có:

$\frac{h_2}{h_1}=\frac{A^{\text{'}}K}{AH}=\frac{S{A}^{\text{'}}}{SA}$

Và

 $\frac{S_2}{S_1}=\frac{\frac{1}{2}\sin \widehat{B^{\text{'}}S{C}^{\text{'}}}.S{B}^{\text{'}}.S{C}^{\text{'}}}{\frac{1}{2}\sin \widehat{BSC}.SB.SC}=\frac{S{B}^{\text{'}}}{SB}.\frac{S{C}^{\text{'}}}{SC}$

Vậy 

$\frac{V_{S.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}}{V_{S.ABC}}=\frac{\frac{1}{3}.S_2.h_2}{\frac{1}{3}.S_1.h_1}=\frac{h_2}{h_1}.\frac{S_2}{S_1}=\frac{S{A}^{\text{'}}.S{B}^{\text{'}}.S{C}^{\text{'}}}{SA.SB.SC}\left(đpcm\right).$