Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a

Giải Toán 12 Bài 3: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 5 trang 26 Toán lớp 12 Hình học: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C, vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a.

Lời giải:

Ta có:

$\begin{array}{l}BA\perp CD\\ BA\perp CA\end{array}\Rightarrow BA\perp \left(CAD\right)\Rightarrow BA\perp CE\left(1\right)$

Lại có: $BD\perp \left(CFE\right)\Rightarrow BD\perp CE\left(2\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $CE\perp \left(ADB\right)$

Do đó: $CE\perp FE;CE\perp AD$

Tam giác ACD vuông cân tại C với CA = CD = a nên:

AD = $a\sqrt{2}\Rightarrow CE=\frac{AD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta có: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=a\sqrt{2}$

$BD=\sqrt{B{C}^2+C{D}^2}=a\sqrt{3}$

Tam giác BCD vuông tại C có đường cao CF nên

CF . BD = CB . CD

$\Rightarrow CF=\frac{CB.CD}{BD}=\frac{a\sqrt{2}.a}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Ta có:

$\text{EF=}\sqrt{C{F}^2-C{E}^2}=\sqrt{\frac{2}{3}{a}^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

$DF=\sqrt{D{C}^2-C{F}^2}=\sqrt{a^2-\frac{2}{3}{a}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

$S_{\text{CEF}}=\frac{1}{2}CE.FE=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{a\sqrt{6}}{6}=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}$

Vậy thể tích khối tứ diện CDEF là:

 $V_{CDEF}=V_{D.C\text{EF}}=\frac{1}{3}.S_{\text{CEF}}.DF=\frac{1}{3}.\frac{a^2\sqrt{3}}{12}.\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a^3}{36}\left(đvtt\right).$