Tỉ số vàng. Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho

Giải Toán 9 Luyện tập trang 59, 60

Video Giải Bài 53 trang 60 SGK Toán 9 Tập 2

Bài 53 trang 60 SGK Toán 9 Tập 2: 

Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên.Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

Hình 16

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.

Lời giải:

Gọi M là điểm chia đoạn AB (AM > MB) và AB có độ dài bằng a.

Gọi tỉ số cần tìm là x (x > 0).

Theo đề bài: $\frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{MB}}{\mathrm{AM}}$ = x

⇒ AM = x.AB = ax;

⇒MB = x.AM = x.ax = ax²

Ta có: MA + MB = AB

⇒ ax + ax² = a

⇔ x² + x = 1

⇔ x² + x – 1 = 0.

Có a = 1 ; b = 1 ; c = -1 ⇒ Δ = 1 – 4.1.(-1) = 5 > 0.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

${\mathrm{x}}_1=\frac{-\mathrm{b}+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2.1}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}{\mathrm{x}}_2=\frac{-\mathrm{b}-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2.1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$

Chỉ có nghiệm x = $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy tỉ số cần tìm là: $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$