Rút gọn biểu thức A = (sinx + sin3x + sin5x)/(cosx +

Giải Toán 10 Bài 3: Công thức lượng giác

Video Giải Bài 8 trang 155 Toán lớp 10 Đại số

Bài 8 trang 155 Toán lớp 10 Đại số: Rút gọn biểu thức

$A=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}$

*Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi trong lượng giác để biến đổi thực hiện phép tính

*Lời giải:

Ta có:

+) sinx + sin3x + sin5x = (sin5x + sinx) + sin3x

$=2\sin \frac{5x+x}{2}\cdot \cos \frac{5x-x}{2}+\sin 3x$

= 2sin3x.cos2x + sin3x

= sin3x(2.cos2x + 1) (1)

+) cosx + cos3x + cos5x

= (cos5x + cosx) + cos3x

= 2cos3x.cos2x + cos3x

= cos3x(2.cos2x + 1) (2)

+) Từ (1) và (2), ta có:

$A=\frac{\sin 3x(2\cos 2x+1)}{\cos 3x(2\cos 2x+1)}=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=\tan 3x$

Vậy A = tan3x.

*Lý thuyết và các dạng bài tập về phép biến đổi lượng giác cần nắm:

+) Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$

+) Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$