Chứng minh các đẳng thức cos (a - b)/ cos (a + b)

Giải Toán 10 Bài 3: Công thức lượng giác

Video Giải Bài 4 trang 154 Toán lớp 10 Đại số

Bài 4 trang 154 Toán lớp 10 Đại số:

a) $\frac{\cos \left(a-b\right)}{\cos \left(a+b\right)}=\frac{\cot a\cot b+1}{\cot a\cot b-1}$

b) sin(a + b)sin(a – b) = sin²a – sin²b = cos²b – cos²a.

c) cos(a + b)cos(a – b) = cos²a – sin²b = cos²b – sin²a.

*Phương pháp giải

1. Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc.
2. Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.
3. Sử dụng các công thức lượng giác.

*Lời giải:

a) Áp dụng công thức cos(a + b) với VT sau đó chia cả tử và mẫu cho sina.sinb, ta được:

b) sin(a + b).sin(a – b)

= sin²a – sin²b

= (1 – cos²a) – (1 – cos²b)

= cos²b – cos²a.

Ta được điều phải chứng minh.

c) cos(a + b).cos(a – b)

= cos²a – sin²b

= (1 – sin²a) – (1 – cos²b)

= cos²b – sin²a.

* Một số công thức cần nhớ để áp dụng

1. Công thức cộng

$\begin{array}{l}\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos asinb\\ sin\left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos asinb\\ \cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin asinb\\ \cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin asinb\\ \tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right]\\ \sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]\end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$