Bằng cách đặt u = a – b, v = a + b, hãy biến đổi cosu + cosv, sinu + sinv

Giải Toán 10 Bài 3: Công thức lượng giác

Hoạt động 3 trang 152 Toán lớp 10 Đại số:

Lời giải:

+) Ta đặt:

$\begin{array}{l}u=a-b\\ v=a+b\end{array}\Rightarrow \begin{array}{l}u+v=2a\\ u-v=-2b\end{array}$

$\Rightarrow \begin{array}{l}a=\frac{u+v}{2}\\ b=\frac{v-u}{2}\end{array}$

Suy ra cosu + cosv = cos(a – b) + cos(a + b) = cosa.cosb + sina.sinb + cosa.cosb – sina.sinb

= 2.cosa.cosb

$=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{v-u}{2}$

$=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \left(-\frac{u-v}{2}\right)$

$=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$

$\Rightarrow \cos u+\cos v=2\cos \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$

+) sinu + sinv = sin(a – b) + sin(a + b)

= sina.cosb – sinb.cosa + sina.cosb + sinb.cosa

= 2.sina.cosb

$=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{v-u}{2}$

$=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \left(-\frac{u-v}{2}\right)$

$\Rightarrow \sin u+\sin v=2\sin \frac{u+v}{2}\cos \frac{u-v}{2}$