Tính cos (anpha + pi/3), biết sin anpha = 1/căn bậc hai của 3

Giải Toán 10 Bài 3: Công thức lượng giác

Video Giải Bài 2 trang 154 Toán lớp 10 Đại số

Bài 2 trang 154 Toán lớp 10 Đại số:

a) $\cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)$, biết $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

b) $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)$, biết $\cos \alpha =-\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$

c) cos(a + b), sin(a – b), biết $\sin a=\frac{4}{5}$, $0<a<90°$ và $\sin b=\frac{2}{3}$, $90°<b<180°$

Lời giải:

a) Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\Rightarrow {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2=\frac{2}{3}$

Mà $0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \cos \alpha >0$

$\Rightarrow \cos \alpha =\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

$\Rightarrow \cos \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\cos \alpha \cos \frac{\pi }{3}-\sin \alpha \sin \frac{\pi }{3}$

$=\frac{\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{6}-3}{6}$

b)

+) Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(-\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{9}$

Mà $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \Rightarrow \sin \alpha >0$

$\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\Rightarrow \tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2\sqrt{2}}{3}:\left(-\frac{1}{3}\right)=-2\sqrt{2}$

+) $\tan \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha -\tan \frac{\pi }{4}}{1+\tan \alpha .\tan \frac{\pi }{4}}$

$=\frac{-1-2\sqrt{2}}{1-2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}-1}$

$=\frac{{\left(2\sqrt{2}+1\right)}^2}{8-1}$$=\frac{9+4\sqrt{2}}{7}$

c)

+) Ta có: ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$

$\Rightarrow {\cos }^{2}a=1-{\sin }^{2}a=1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}$

Mà $0°<a<90°\Rightarrow \cos a>0$

Hay $\cos a=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$

+) Ta có: ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$

$\Rightarrow {\cos }^{2}b=1-{\sin }^{2}b=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{5}{9}$

Mà $90°<b<180°$

$\Rightarrow \cos b<0\Rightarrow \cos b=-\sqrt{\frac{5}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

+) cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

$=\frac{3}{5}\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)-\frac{4}{5}.\frac{2}{3}$

$=-\frac{3\sqrt{5}+8}{15}$

+) sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

$=\frac{4}{5}.\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)-\frac{3}{5}.\frac{2}{3}$

$=-\frac{4\sqrt{5}+6}{15}$