Lý thuyết Phép nhân, phép chia phân thức đại số – Toán lớp 8 Cánh diều

Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Phép nhân, phép chia phân thức đại số - Cánh diều

A. Lý thuyết Phép nhân, phép chia phân thức đại số

1. Phép nhân hai phân thức

Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau.

$\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{A.C}{B.D}$

Tính chất

- Giao hoán: $\frac{A}{B}.\frac{C}{D}=\frac{C}{D}.\frac{A}{B}$

- Kết hợp: $\left(\frac{A}{B}.\frac{C}{D}\right).\frac{E}{G}=\frac{A}{B}.\left(\frac{C}{D}.\frac{E}{G}\right)$

- Tính chất phân phối đối với phép cộng: $\frac{A}{B}.\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{G}\right)=\frac{A}{B}.\frac{C}{D}+\frac{A}{B}.\frac{E}{G}$

Ví dụ:

$\frac{2xz}{3y}.\frac{-6y^3}{8x^{2}z}=\frac{2xz.(-6y^3)}{3y.8x^{2}z}=\frac{-y^2}{2x}$;

$\frac{x^2-1}{x^2+4x}.\frac{2x}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1).2x}{x(x+4)(x-1)}=\frac{2(x+1)}{x+4}$

2. Phép chia hai phân thức

Muốn chia phân thức $\frac{A}{B}$ cho phân thức $\frac{C}{D}$(C khác đa thức không), ta nhân phân thức $\frac{A}{B}$ với phân thức $\frac{D}{C}$: $\frac{A}{B}:\frac{C}{D}=\frac{A}{B}.\frac{D}{C}$

Nhận xét: Phân thức $\frac{D}{C}$ được gọi là phân thức nghịch đảo của phân thức $\frac{C}{D}$

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\frac{x^2-9}{x-2}:\frac{x-3}{x}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-2}.\frac{x}{x-3}\\ =\frac{(x-3)(x+3).x}{(x-2)(x-3)}=\frac{x(x+3)}{x-2}\\ \frac{x}{z^2}.\frac{xz}{y^3}:\frac{x^3}{yz}=\frac{x}{z^2}.\frac{xz}{y^3}.\frac{yz}{x^3}\\ =\frac{x.xz.yz}{z^2.y^3.x^3}=\frac{x^{2}y{z}^2}{x^3{y}^3{z}^2}=\frac{1}{x{y}^2}\end{array}$

B. Bài tập Phép nhân, phép chia phân thức đại số

Bài 1. Tính một cách hợp lí:

$\frac{x^2-36}{x^2+3}.\left(\frac{x^2+3}{x-6}-\frac{x^2+3}{x+6}\right)$.

Hướng dẫn giải

$\frac{x^2-36}{x^2+3}.\left(\frac{x^2+3}{x-6}-\frac{x^2+3}{x+6}\right)$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\left.\frac{\left(x^2+3\right)\left(x+6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}-\frac{\left(x^2+3\right)\left(x-6\right)}{\left(x+6\right)\left(x-6\right)}\right]$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\frac{\left(x^2+3\right)\left(x+6\right)-\left(x^2+3\right)\left(x-6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\frac{\left(x^2+3\right)\left(x+6-x+6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}$

$=\frac{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}{x^2+3}.\frac{\left(x^2+3\right).12}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}=12$.

Bài 2. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{2x+3}{2x-4}.\frac{x-2}{4x+6}$;

b) $\frac{xy-1}{x+3}.{\left(x+3\right)}^2$;

c) $\frac{x^3-1}{x+2}.\frac{2x+4}{x^2+x+1}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2x+3}{2x-4}.\frac{x-2}{4x+6}=\frac{2x+3}{2\left(x-2\right)}.\frac{x-2}{2\left(2x+3\right)}=\frac{1}{4}$.

b) $\frac{xy-1}{x+3}.{\left(x+3\right)}^2=\left(xy-1\right)\left(x+3\right)=x^{2}y+3xy-x-3$.

c) $\frac{x^3-1}{x+2}.\frac{2x+4}{x^2+x+1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}{x+2}.\frac{2\left(x+2\right)}{x^2+x+1}$

$=\frac{\left(x-1\right).2}{1}=2x-2$.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{30x{y}^2}{5x}:\frac{6y}{10x}$;

b) $\frac{4-x^2}{x^2+1}:\frac{x+2}{x^2+1}$;

c) $\frac{3x-1}{2y+5}:{\left(3x-1\right)}^2$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{30x{y}^2}{5x}:\frac{6y}{10x}=\frac{30x{y}^2}{5x}.\frac{10x}{6y}$

$=\frac{6y.5xy}{5x}.\frac{5x.2}{6y}$$=\frac{6y.5xy.5x.2}{5x.6y}=10xy$.

b) $\frac{4-x^2}{x^2+1}:\frac{x+2}{x^2+1}$

$=\frac{4-x^2}{x^2+1}.\frac{x^2+1}{x+2}=\frac{-\left(x^2-4\right)}{x^2+1}.\frac{x^2+1}{x+2}$

$=\frac{-\left(x-2\right).\left(x+2\right)}{x^2+1}.\frac{x^2+1}{x+2}=-x+2$.

c) $\frac{3x-1}{2y+5}:{\left(3x-1\right)}^2=\frac{3x-1}{2y+5}.\frac{1}{{\left(3x-1\right)}^2}$

$=\frac{1}{\left(2y+5\right)\left(3x-1\right)}$.