Lý thuyết Hình chữ nhật – Toán lớp 8 Cánh diều

Lý thuyết Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật - Cánh diều

A. Lý thuyếtHình chữ nhật

1. Khái niệm

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Chú ý: Nếu một tứ giác có ba góc vuông thì góc còn lại cũng là góc vuông và tứ giác đó là hình chữ nhật.

2. Tính chất

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Nhận xét: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

3. Dấu hiệu nhận biết

- Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Ví dụ:

Hình b là hình chữ nhật vì có 4 góc vuông.

B. Bài tậpHình chữ nhật

Bài 1. Tứ giác ABCD có AB ⊥ CD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của BC, BD, AD, AC. Chứng minh rằng EG = FH.

Hướng dẫn giải

Vì E là trung điểm của BC; H là trung điểm của AC .

Nên EH là đường trung bình của ΔBCD

Suy ra EF // CI

Kết hợp với AB ⊥ CD (gt) (4)

Kết hợp (*), (3) và (4)

Suy ra HE⊥ EF

Suy ra HEF = 90° (***)

Từ (**) và (***) ta có EFGH là hình chữ nhật.

Từ đó hai đường chéo EG = FH.

Vậy EG = FH.

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với G qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Hướng dẫn giải

Ta có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có: BG = 2GM

CG = 2GN

Lại có: G đối xứng với với D qua M suy ra GM = MD hay GD = 2GM

G đối xứng với E qua N suy ra GN = EN hay GE = 2GN

Do đó BG = GD và CG = GE

Suy ra G là trung điểm của BD và CE.

Xét tứ giác BCDE có: G là trung điểm của đường chéo BD

G là trung điểm đường chéo CE

Suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành.

Lại có: $∆$ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB nên BN = CM.

Xét $∆$BNC và $∆$CMB có:

Cạnh BC chung

BN = CM

$\widehat{NBC}=\widehat{MCB}$(do tam giác ABC cân tại A)

Do đó $∆$BNC = $∆$CMB (c.g.c)

Suy ra CN = BM (hai cạnh tương ứng)

Mà $CN=\frac{3}{4}EC$ và $\text{BM}=\frac{3}{4}BD$

Do đó EC = BD.

Xét hình bình hành BCDE có hai đường chéo EC và BD bằng nhau.

Vậy tứ giác BCDE là hình chữ nhật.

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BD. Biết HB = 2 cm, HD = 6 cm. Tính độ dài AB, AD.

Hướng dẫn giải

Ta có: BD = HB + HD = 2 + 6 = 8 (cm).

Xét tam giác giác BHA vuông tại H ta có: BH² + AH² = AB²

Suy ra AH² = AB² – BH²

Suy ra AH² = AB² – 4 (1)

Xét tam giác AHD vuông tại H ta có: HD² + AH² = AD²

Suy ra AH² = AD² – HD²

Suy ra AH² = AD² – 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra AB² – 4 = AD² – 36 (3)

Xét tam giác ABD vuông tại A có:

AB² + AD² = DB² = 8² = 64

Thay AB² = 64 – AD² vào (3). Giải ra ta được AD² = 48 hay $AD=4\sqrt{3}$ .

Suy ra AB = 4 cm.

Vậy $AD=4\sqrt{3}$ cm và AB = 4 cm.