Lý thuyết Phép cộng, phép trừ phân thức đại số – Toán lớp 8 Cánh diều

Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Phép cộng, phép trừ phân thức đại số - Cánh diều

A. Lý thuyết Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

1. Cộng, trừ hai phân thức cùng mẫu

Muốn cộng (hoặc trừ) hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng (hoặc trừ) các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.

$\frac{A}{B}+\frac{C}{B}=\frac{A+C}{B};\frac{A}{B}-\frac{C}{B}=\frac{A-C}{B}$

Chú ý: Phép cộng phân thức có các tính chất giao hoán, kết hợp tương tự như đối với phân số.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}\frac{x+y}{xy}+\frac{x-y}{xy}=\frac{x+y+x-y}{xy}=\frac{2x}{xy}=\frac{2}{y}\\ \frac{x}{x+3}+\frac{2-x}{x+3}=\frac{x+2-x}{x+3}=\frac{2}{x+3}\end{array}$

2. Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu

Quy đồng mẫu thức hai phân thức

Quy đồng mẫu thức hai phân thức là biến đổi hai phân thức đã cho thành hai phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt bằng hai mẫu thức đã cho.

Mẫu thức chung

Mẫu thức của các phân thức mới đó gọi là mẫu thức chung của hai phân thức đã cho.

Cộng, trừ hai phân thức khác mẫu

Muốn cộng, trừ hai phân thức khác mẫu thức, ta thực hiện các bước:

- Quy đồng mẫu thức;

- Cộng, trừ các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm được.

Chú ý:

a. Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp:

$\frac{A}{B}+\frac{C}{D}=\frac{C}{D}+\frac{A}{B};\left(\frac{A}{B}+\frac{C}{D}\right)+\frac{E}{F}=\frac{A}{B}+\left(\frac{C}{D}+\frac{E}{F}\right)$.

b. Phân thức đối của phân thức $\frac{A}{B}$ là $-\frac{A}{B}$. Ta có tính chất $-\frac{A}{B}=\frac{-A}{B}=\frac{A}{-B}$.

c. Phép trừ phân thức có thể chuyển thành phép cộng với phân thức đối: $\frac{A}{B}-\frac{C}{D}=\frac{A}{B}+\left(-\frac{C}{D}\right)$

B. Bài tập Phép cộng, phép trừ phân thức đại số

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}$;

b) $\frac{12}{x^2-9}-\frac{2}{x-3}$;

c) $\frac{1}{x-5x^2}-\frac{25x-15}{25x^2-1}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+1}=\frac{1\left(x+1\right)}{\left(x-2\right)\left(x+1\right)}-\frac{1\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$

$=\frac{x+1-x+2}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\frac{3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}$.

b)$\frac{12}{x^2-9}-\frac{2}{x-3}$

$=\frac{12}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{2\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$=\frac{12-2x-6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$=\frac{-2x+6}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$

$=\frac{-2\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}$$=\frac{-2}{x+3}$.

c) $\frac{1}{x-5x^2}-\frac{25x-15}{25x^2-1}$

$=\frac{1}{x\left(1-5x\right)}-\left.-\frac{25x-15}{\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)}\right]$

$=\frac{1\left(1+5x\right)}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)}+\frac{\left(25x-15\right)x}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)}$

$=\frac{1+5x+25x-15}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)}=\frac{30x-14}{x\left(1-5x\right)\left(1+5x\right)}$.

Bài 2. Sử dụng quy tắc đổi dấu thực hiện phép tính sau theo cách hợp lí:

$\frac{4x^2-3x+17}{x^3-1}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}+\frac{6}{1-x}$.

Hướng dẫn giải

$\frac{4x^2-3x+17}{x^3-1}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}+\frac{6}{1-x}$

$=\frac{4x^2-3x+17}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2x-1}{x^2+x+1}-\frac{6}{x-1}$

$=\frac{4x^2-3x+17}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{\left(2x-1\right)\left(x-1\right)}{\left(x^2+x+1\right)\left(x-1\right)}-\frac{6\left(x^2+x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{4x^2-3x+17+2x^2-2x-x+1-6x^2-6x-6}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-12x+12}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{-12\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

$=\frac{-12}{x^2+x+1}$.

Bài 3. Thực hiện phép tính:

a) $\frac{3x+2}{2}+\frac{2x-1}{2}$;

b) $\frac{3x-2y}{x-y}+\frac{x+2y}{y-x}$;

c) $\frac{2x+1}{x^2-4}+\frac{x-1}{x-2}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{3x+2}{2}+\frac{2x-1}{2}=\frac{\left(3x+2\right)+\left(2x-1\right)}{2}$

$=\frac{3x+2+2x-1}{2}=\frac{5x+1}{2}$.

b) $\frac{3x-2y}{x-y}+\frac{x+2y}{y-x}=\frac{3x-2y}{x-y}+\left(-\frac{x+2y}{x-y}\right)$

$=\frac{3x-2y-x-2y}{x-y}=\frac{2x-4y}{x-y}$.

c) $\frac{2x+1}{x^2-4}+\frac{x-1}{x-2}$

$\begin{array}{l}=\frac{2x+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\\ \end{array}$

$=\frac{2x+1}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{x^2+2x-x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$=\frac{2x-1+x^2+2x-x-2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$

$=\frac{x^2+3x-3}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}$.