Lý thuyết Phép nhân, phép chia phân số đơn giản – Toán lớp 6 Cánh diều

A. Lý thuyết Toán 6 Bài 4: Phép nhân, phép chia phân số đơn giản - Cánh diều

1. Phép nhân phân số

a) Quy tắc nhân hai phân số

- Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu với nhau.

$\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{a.c}{b.d}$ với b ≠ 0 và d ≠ 0.

Ví dụ 1. $\frac{-1}{3}.\frac{5}{9}=\frac{\left(-1\right).5}{3.9}=\frac{-5}{27}.$

- Muốn nhân một số nguyên với một phân số (hoặc nhân một phân số với một số nguyên), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu của phân số đó:

$m.\frac{a}{b}=\frac{m.a}{b};\frac{a}{b}.n=\frac{a.n}{b}$ với b ≠ 0.

Ví dụ 2.

a) $(-5).\frac{5}{11}=\frac{\left(-5\right).5}{11}=\frac{-25}{11}.$

b) $\frac{-7}{3}.(-6)=\frac{\left(-7\right).\left(-6\right)}{3}=\frac{\left(-7\right).\left(-2\right).3}{3}=\frac{\left(-7\right).\left(-2\right)}{1}=14.$

b) Tính chất của phép nhân phân số

- Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{c}{d}.\frac{a}{b}$;

- Tính chất kết hợp: $\left(\frac{a}{b}.\frac{c}{d}\right).\frac{p}{q}=\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}.\frac{p}{q}\right)$;

- Nhân với số 1” $\frac{a}{b}.1=1.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$;

- Nhân với số 0: $\frac{a}{b}.1=1.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$;

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: $\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}+\frac{p}{q}\right)=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}+\frac{a}{b}.\frac{p}{q}$;

- Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: $\frac{a}{b}.\left(\frac{c}{d}-\frac{p}{q}\right)=\frac{a}{b}.\frac{c}{d}-\frac{a}{b}.\frac{p}{q}$.

Ví dụ 3. Tính một cách hợp lí:

a) $\frac{5}{11}.\frac{5}{7}+\frac{2}{11}.\frac{5}{7}+\frac{6}{11}$

b) $\frac{3}{13}.\frac{6}{11}+\frac{3}{13}.\frac{9}{11}-\frac{3}{13}.\frac{4}{11}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{5}{11}.\frac{5}{7}+\frac{2}{11}.\frac{5}{7}+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.\frac{5}{7}+\frac{2.5}{11.7}+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.\frac{5}{7}+\frac{5.2}{11.7}+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.\frac{5}{7}+\frac{5}{11}.\frac{2}{7}+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.\left(\frac{5}{7}+\frac{2}{7}\right)+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.\frac{7}{7}+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}.1+\frac{6}{11}$

$=\frac{5}{11}+\frac{6}{11}$

$=\frac{11}{11}$

= 1.

b) $\frac{3}{13}.\frac{6}{11}+\frac{3}{13}.\frac{9}{11}-\frac{3}{13}.\frac{4}{11}$

$=\frac{3}{13}.\left(\frac{6}{11}+\frac{9}{11}-\frac{4}{11}\right)$

$=\frac{3}{13}.\frac{6+9-4}{11}$

$=\frac{3}{13}.\frac{11}{11}$

$=\frac{3}{13}.1$

$=\frac{3}{13}.$

2. Phép chia phân số

a) Phân số nghịch đảo

Phân số $\frac{b}{a}$ được gọi là phân số nghịch đảo của phân số $\frac{a}{b}$ với a ≠ 0 và b ≠ 0.

Chú ý: Tích của một phân số với phân số nghịch đảo của nó thì bằng 1.

Ví dụ 4.

a) Phân số nghịch đảo của phân số $\frac{11}{7}$ là $\frac{7}{11}.$ Khi đó $\frac{11}{7}.\frac{7}{11}=1.$  

b) Phân số nghịch đảo của phân số $\frac{-1}{3}$ là $\frac{3}{-1}=\frac{-3}{1}=-3.$ Khi đó $\frac{-1}{3}.\left(-3\right)=1.$ 

b) Phép chia phân số

Muốn chia một phân số cho một phân số khác 0, ta nhân số bị chia với phân số nghịch đảo của số chia:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}=\frac{a.d}{b.c}$ với b, c, d khác 0.

Ví dụ 5. $\frac{-5}{6}:\frac{2}{7}=\frac{-5}{6}.\frac{7}{2}=\frac{\left(-5\right).7}{6.2}=\frac{-35}{12}.$

3. Thứ tự thực hiện phép tính với phân số:

a) Thứ tự thực hiện phép tính với phân số trong biểu thức không chứa dấu ngoặc:

Đối với biểu thức không chứa dấu ngoặc, ta thực hiện theo thứ tự:

Luỹ thừa → Phép nhân và phép chia → Phép cộng và phép trừ.

b) Thứ tự thực hiện phép tính với phân số trong biểu thức có chứa dấu ngoặc:

Đối với biểu thức có chứa dấu ngoặc, ta thực hiện theo thứ tự:

Dấu ngoặc () → Dấu ngoặc [] → Dấu ngoặc {}.

Ví dụ 6. Tính:

a) $\frac{10}{21}-\frac{3}{2^3}.\frac{4}{15}$

b) $\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right).\left(\frac{5}{7}+\frac{5}{14}\right)$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{10}{21}-\frac{3}{2^3}.\frac{4}{15}$

$=\frac{10}{21}-\frac{3}{8}.\frac{4}{15}$

$=\frac{10}{21}-\frac{3.4}{8.15}$

$=\frac{10}{21}-\frac{3.4}{\mathrm{2.4.3.5}}$

$=\frac{10}{21}-\frac{1}{2.5}$

$=\frac{10}{21}-\frac{1}{10}$

$=\frac{10.10}{21.10}-\frac{1.21}{10.21}$

$=\frac{100}{210}-\frac{21}{210}$

$=\frac{100-21}{210}$

$=\frac{79}{210}$

b) $\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right).\left(\frac{5}{7}+\frac{5}{14}\right)$

$=\left(\frac{2.4}{3.4}+\frac{3.3}{4.3}\right).\left(\frac{5.2}{7.2}+\frac{5}{14}\right)$

$=\left(\frac{8}{12}+\frac{9}{12}\right).\left(\frac{10}{14}+\frac{5}{14}\right)$

$=\frac{17}{12}.\frac{15}{14}$

$=\frac{17.15}{12.14}$

$=\frac{\mathrm{17.3.5}}{\mathrm{3.4.14}}$

$=\frac{17.5}{4.14}$

$=\frac{75}{56}$

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính giá trị biểu thức (tính hợp lí nếu có thể):

a) $\left(\frac{3}{-10}\right)\left(-\frac{-15}{2}\right)$;

b) $\frac{-4}{7}:\frac{-1}{3};$

c) $\frac{4}{5}+\frac{3}{5}:3-\frac{7}{8};$

d) $\left(-\frac{5}{24}+\frac{3}{2^2}+\frac{7}{12}\right):2\frac{1}{8}$

e) $\frac{6}{7}.\frac{8}{13}+\frac{6}{13}.\frac{9}{7}-\frac{4}{13}.\frac{6}{7}$

Hướng dẫn giải

a) $\left(\frac{3}{-10}\right)\left(-\frac{-15}{2}\right)=\frac{3}{-10}.\frac{15}{2}=\frac{3.15}{\left(-10\right).2}$

$=\frac{\mathrm{3.3.5}}{\left(-2\right)\mathrm{.5.2}}=\frac{3.3}{\left(-2\right).2}=\frac{9}{-4}$;

b) $\frac{-4}{7}:\frac{-1}{3}=\frac{-4}{7}.\frac{3}{-1}=\frac{\left(-4\right).3}{7.\left(-1\right)}=\frac{-12}{-7}=\frac{12}{7};$

c) $\frac{4}{5}+\frac{3}{5}:3-\frac{7}{8}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}.\frac{1}{3}-\frac{7}{8}$

$=\frac{4}{5}+\frac{3.1}{5.3}-\frac{7}{8}=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}-\frac{7}{8}$ 

$=\frac{5}{5}-\frac{7}{8}$$=1-\frac{7}{8}$

$=\frac{8}{8}-\frac{7}{8}$$=\frac{1}{8}$;

d) $\left(-\frac{5}{24}+\frac{3}{2^2}+\frac{7}{12}\right):2\frac{1}{8}$

$=\left(-\frac{5}{24}+\frac{3}{4}+\frac{7}{12}\right):\frac{17}{8}$

$=\left(-\frac{5}{24}+\frac{18}{24}+\frac{14}{24}\right):\frac{17}{8}$

$=\frac{-5+18+14}{24}:\frac{17}{8}$

$=\frac{9}{8}.\frac{8}{17}$

$=\frac{9}{17}$;

e) $\frac{6}{7}.\frac{8}{13}+\frac{6}{13}.\frac{9}{7}-\frac{4}{13}.\frac{6}{7}$

$=\frac{6}{7}.\frac{8}{13}+\frac{6}{7}.\frac{9}{13}-\frac{6}{7}.\frac{4}{13}$

$=\frac{6}{7}.\left(\frac{8}{13}+\frac{9}{13}-\frac{4}{13}\right)$

$=\frac{6}{7}.\frac{8+9-4}{13}$

$=\frac{6}{7}.\frac{13}{13}$

$=\frac{6}{7}.1$

$=\frac{6}{7}$.

Bài 2. Tìm x, biết:

a) $\frac{2}{9}-\frac{7}{8}.x=1;$

b) $\frac{5}{7}:x-1=\frac{2}{3}$;

c) $\left(4\frac{1}{2}-2x\right).1\frac{4}{61}=6\frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2}{9}-\frac{7}{8}.x=1$

$\frac{7}{8}.x=\frac{2}{9}-1$

$\frac{7}{8}.x=\frac{2}{9}-\frac{9}{9}$

$\frac{7}{8}.x=\frac{-7}{9}$

$x=\frac{-7}{9}:\frac{7}{8}$

$x=\frac{-7}{9}.\frac{8}{7}$

$x=\frac{\left(-7\right).8}{9.7}$

$x=\frac{\left(-1\right)\mathrm{.7.8}}{9.7}$

$x=\frac{-8}{9}$

Vậy $x=\frac{-8}{9}$

b) $\frac{5}{7}:x-1=\frac{2}{3}$

$\frac{5}{7}:x=\frac{2}{3}+1$

$\frac{5}{7}:x=\frac{2}{3}+\frac{3}{3}$

$\frac{5}{7}:x=\frac{5}{3}$

$x=\frac{5}{7}:\frac{5}{3}$

$x=\frac{5}{7}.\frac{3}{5}$

$x=\frac{3}{7}.$

Vậy $x=\frac{3}{7}.$

c) $\left(4\frac{1}{2}-2x\right).1\frac{4}{61}=6\frac{1}{2}$

$\left(\frac{9}{2}-2x\right).\frac{65}{61}=\frac{13}{2}$

$\frac{9}{2}-2x=\frac{13}{2}:\frac{65}{61}$

$\frac{9}{2}-2x=\frac{13}{2}.\frac{61}{65}$

$\frac{9}{2}-2x=\frac{13}{2}.\frac{61}{5.13}$

$\frac{9}{2}-2x=\frac{61}{10}$

$2x=\frac{9}{2}-\frac{61}{10}$

$2x=\frac{45}{10}-\frac{61}{10}$

$2x=\frac{-16}{10}$

$2x=\frac{-8}{5}$

$x=\frac{-8}{5}:2$

$x=\frac{-8}{5}.\frac{1}{2}$

$x=\frac{-4}{5}$

Vậy $x=\frac{-4}{5}$.

Bài 3. Sau một thời gian gửi tiết kiệm với số tiền là 8 triệu đồng, người gửi đi rút tiền và nhận số tiền lãi bằng $\frac{1}{25}$ số tiền gửi tiết kiệm. Hỏi sau khi rút tiền thì tổng số tiền người đó nhận được là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Vì số tiền lãi bằng $\frac{1}{25}$ số tiền gửi tiết kiệm nên số tiền lãi người đó nhận được là:

$8000000.\frac{1}{25}=320000$ (đồng).

Tổng số tiền người đó nhận được là:

8 000 000 + 320 000 = 8 320 000 (đồng)

Vậy tổng số tiền người đó nhận được là 8 320 000 đồng.

Bài 4. Một khu đất hình chữ nhật có chiều dài $\frac{13}{3}$m và diện tích là $\frac{130}{9}$ m². Tính chiều rộng của khu đất đó.

Hướng dẫn giải

Chiều rộng của khu đất hình chữ nhật là:

$\frac{130}{9}:\frac{13}{3}=\frac{130}{9}.\frac{3}{13}=\frac{\mathrm{13.10.3}}{\mathrm{3.3.13}}=\frac{10}{3}$ (m).

Vậy chiều rộng của khu đất là $\frac{10}{3}$ m.

B. Trắc nghiệm Phép nhân, phép chia phân số đơn giản (Cánh diều 2023) có đáp án

Câu 1. Nhân cả tử số và mẫu số của phân số $\frac{14}{23}$  với số nào để được phân số $\frac{168}{276}$?

A. 14

B. 23

C. 12

D. 22

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có: 168:14 = 12 và 276:23 = 12 nên số cần tìm là 12

Câu 2. Phân số bằng phân số $\frac{301}{403}$ mà có tử số và mẫu số đều là số dương, có ba chữ số là phân số nào?

A. $\frac{151}{201}$

B. $\frac{602}{806}$

C. $\frac{301}{403}$

D. $\frac{903}{1209}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Trả lời:

Ta có:

+) $\frac{301}{403}=\frac{301.2}{403.2}=\frac{602}{806}\left(TM\right)$

+) $\frac{301}{403}=\frac{301.3}{403.3}=\frac{903}{1209}\left(\mathrm{L}\right)$

Do đó ở các trường hợp nhân cả tử và mẫu với một số tự nhiên lớn hơn 33 ta cũng đều loại được.

Ngoài ra phân số $\frac{301}{403}$ tối giản nên không thể rút gọn được.

Vậy phân số cần tìm là $\frac{602}{806}$

Câu 3. Tìm x biết  $\frac{-5}{-14}=\frac{20}{6-5x}$

A. x = 10

B. x = −10

C. x = 5

D. x = 6

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Trả lời:

Ta có:

$\frac{-5}{-14}=\frac{(-5).(-4)}{(-14).(-4)}=\frac{20}{56}=\frac{20}{6-5x}$

⇒56=6−5x56−6=−5x50=−5xx=50:(−5)x=−10⇒56=6−5x56−6=−5x50=−5xx=50:(−5)x=−10

Câu 4. Biểu thức $\frac{5^{12}.3^9-5^{10}.3^{11}}{5^{10}.3^{10}}$sau khi đã rút gọn đến tối giản có mẫu số dương là:

A. 16

B. 3

C. $\frac{16}{5}$

D. $\frac{16}{3}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$\frac{5^{12}.3^9-5^{10}.3^{11}}{5^{10}.3^{10}}=\frac{5^{10}.3^9(5^2-3^2)}{5^{10}.3^{10}}=\frac{5^{10}.3^9.16}{5^{10}.3^{10}}=\frac{16}{3}$

Vậy mẫu số của phân số đó là 3

Câu 5. Sau khi rút gọn biểu thức $\frac{5^{11}.7^{12}+5^{11}.7^{11}}{5^{12}.7^{12}+9.5^{11}.7^{11}}$ ta được phân số $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$. Tính tổng a + b

A. 26

B. 13

C. 52

D. 8

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

$\frac{5^{11}.7^{12}+5^{11}.7^{11}}{5^{12}.7^{12}+9.5^{11}.7^{11}}=\frac{5^{11}.7^{11}(7+1)}{5^{11}.7^{11}(5.7+9)}=\frac{8}{44}=\frac{2}{11}$

Do đó a=2,b=11 nên a+b=13

Câu 6. Tìm phân số bằng với phân số $\frac{200}{520}$ mà có tổng của tử và mẫu bằng 306.

A. $\frac{84}{222}$

B. $\frac{200}{520}$

C. $\frac{85}{221}$

D. $\frac{100}{260}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\frac{200}{520}=\frac{5}{13}$ nên có dạng tổng quát là $\frac{5\mathrm{k}}{13\mathrm{k}}(k\in Z,k\ne 0)$

Do tổng và tử và mẫu của phân số cần tìm bằng 306 nên:

5k + 13k = 306

18k = 306

k306:18

k = 17

Vậy phân số cần tìm là $\frac{5.17}{13.17}=\frac{85}{221}$

Câu 7. Viết dạng tổng quát của các phân số bằng với phân số $\frac{-12}{40}$

A. $\frac{-3\mathrm{k}}{10\mathrm{k}},k\in Z$

B. $\frac{-3\mathrm{k}}{10},k\in Z\mathit{,}k\mathit{\ne }\mathit{0}$

C. $\frac{-3\mathrm{k}}{10\mathrm{k}},k\in Z\mathit{,}k\mathit{\ne }\mathit{0}$

D. $\frac{-3}{10}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

- Rút gọn phân số: $\frac{-12}{40}=\frac{-12:4}{40:4}=\frac{-3}{10}$

- Dạng tổng quát của phân số đã cho là: $\frac{-3\mathrm{k}}{10\mathrm{k}},k\in Z\mathit{,}k\mathit{\ne }\mathit{0}$

Câu 8. Tìm phân số tối giản $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}$ biết rằng lấy tử cộng với 6, lấy mẫu cộng với 14 thì ta được phân số bằng 37.

A. $\frac{4}{5}$

B. $\frac{7}{3}$

C. $\frac{-3}{7}$

D. $\frac{3}{7}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có:

$\frac{\mathrm{a}+6}{\mathrm{b}+14}=\frac{3}{7}$7.(a+6)=3.(b+14)

7a+42=3b+42

7a=3b

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}=\frac{3}{7}$

A. 35

B. 34

C. 37

D. 36

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Trả lời:

Các phân số đã cho đều có dạng  

$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}+(\mathrm{a}+2)}$

Và tối giản nếu a và n + 2 nguyên tố cùng nhau

Số tự nhiên n + 2 nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này là 37

Ta có n + 2 = 37 nên n = 37 – 2 = 35

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 35

Câu 10. Quy đồng mẫu số các phân số$\frac{11}{12};\frac{15}{16};\frac{23}{20}$ta được các phân số lần lượt là:

A. $\frac{220}{240};\frac{225}{240};\frac{276}{240}$

B. $\frac{225}{240};\frac{220}{240};\frac{276}{240}$

C. $\frac{225}{240};\frac{276}{240};\frac{220}{240}$

D. $\frac{220}{240};\frac{276}{240};\frac{225}{240}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có:

12 = 2².3; 16 = 2⁴; 20 = 2².5

Do đó MSC = 2⁴.3.5 = 240

$\frac{11}{12}=\frac{11.20}{12.20}=\frac{220}{240};$

$\frac{15}{16}=\frac{15.15}{16.15}=\frac{225}{240};$

$\frac{23}{20}=\frac{23.12}{20.12}=\frac{276}{240};$

Vậy các phân số sau khi quy đồng lần lượt là: $\frac{220}{240};\frac{225}{240};\frac{276}{240}$

Câu 11. Rút gọn rồi quy đồng mẫu số các phân số $\frac{3.4-3.7}{6.5+9}$và $\frac{6.9-2.17}{63.3-119}$ta được

A. $\frac{-21}{91};\frac{26}{91}$

B. $\frac{-3}{13};\frac{2}{7}$

C. $\frac{21}{91};\frac{26}{91}$

D. $\frac{-21}{91};\frac{36}{91}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: A

Giải thích:

$\frac{3.4-3.7}{6.5+9}=\frac{12-21}{30+9}=\frac{-9}{39}=\frac{-3}{13}$

$\frac{6.9-2.17}{63.3-119}=\frac{54-34}{189-119}=\frac{20}{70}=\frac{2}{7}$

MSC = 91

$\frac{-3}{13}=\frac{-3.7}{13.7}=\frac{-21}{91}$

$\frac{2}{7}=\frac{2.13}{7.13}=\frac{26}{91}$

Vậy sau khi quy đồng ta được hai phân số $\frac{-21}{91},\frac{26}{91}$

Câu 12. Quy đồng mẫu hai phân số $\frac{3}{4}$và $\frac{4}{5}$ta được kết quả là:

A. $\frac{5}{20}$và $\frac{25}{20}$

B. $\frac{15}{20}$và $\frac{16}{20}$

C. $\frac{5}{4}$và $\frac{2}{3}$

D. $\frac{1}{2}$ và $\frac{3}{2}$

Hiển thị đáp án  

Đáp án: B

Giải thích:

Để quy đồng mẫu hai phân số $\frac{3}{4}$và $\frac{4}{5}$, ta làm như sau:

- Tìm mẫu chung: BCNN(4, 5) = 20;

- Tìm thừa số phụ: 20 : 4 = 5 và 20 : 5 = 4;

- Ta có:

$\frac{3}{4}=\frac{3.5}{4.5}=\frac{15}{20}$ và $\frac{4}{5}=\frac{4.4}{5.4}=\frac{16}{20}$