Lý thuyết Bội chung và bội chung nhỏ nhất chi tiết – Toán lớp 6 Cánh diều

A. Lý thuyết Toán 6 Bài 3: Bội chung và bội chung nhỏ nhất – Cánh diều

I. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

1. Bội chung:

Số tự nhiên n được gọi là bội chung của hai số a và b nếu n vừa là bội của a vừa là bội của b.

Quy ước: Viết tắt bội chung là BC.

Kí hiệu: Tập hợp các bội chung của a và b là BC(a, b).

Ví dụ: Các bội của 2 là: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,…

Các bội của 3 là: 0, 3, 6, 9, 12,…

Các bội chung của 2 và 3 là: 0, 6, 12, …

Vậy BC(2, 3) = {0; 6; 12; …}.

Chú ý: Số tự nhiên n được gọi là bội chung của ba số a, b, c nếu n là bội của cả ba số a, b, c. Ta kí hiệu: Tập hợp các bội chung của a, b, c là BC(a, b, c).

Ví dụ: 20 chia hết cho 2 nên 20 là bội của 2, 20 chia hết cho 4 nên 20 là bội của 4, 20 chia hết cho 5 nên 20 là bội của 5. Do đó 20 là một bội chung của ba số 2, 4, 5.

2. Bội chung nhỏ nhất:

Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của a và b được gọi là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Quy ước: Viết tắt bội chung nhỏ nhất là BCNN.

Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của a và b là BCNN(a, b).

Ví dụ: Ta có các bội chung của 2 và 3 là: 0, 6, 12,… Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của 2 và 3 là 6 nên 6 là bội chung nhỏ nhất của 2 và 3.

Vậy BCNN(2, 3) = 6.

Chú ý:

+ Số nhỏ nhất khác 0 trong các bội chung của ba số a, b, c được gọi là bội chung nhỏ nhất của ba số a, b, c.

+ Kí hiệu: bội chung nhỏ nhất của a, b, c là BCNN(a, b, c).

+ Bội chung nhỏ nhất của hai số nguyên tố cùng nhau bằng tích của hai số đó.

Ví dụ: 5 và 8 là hai số nguyên tố cùng nhau nên BCNN(5, 8) = 5 . 8 = 40.

3. Tìm bội chung thông qua BCNN

+ Bội chung của nhiều số là bội của bội chung nhỏ nhất của chúng.

+ Để tìm bội chung của nhiều số, ta có thể lấy bội chung nhỏ nhất của chúng lần lượt nhân với 0, 1, 2, …

Ví dụ: Biết BCNN(a, b) = 30. Tìm tất cả các số có hai chữ số là bội chung của a và b.

Lời giải:

Vì bội chung của a và b đều là bội của BCNN(a, b) = 30 nên tất cả các số có hai chữ số là bội chung của a và b là: 30, 60, 90.

II. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Các bước tìm BCNN bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

 Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng

Bước 3: Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất

Bước 4: Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm.

Ví dụ: Tìm BCNN(40, 48).

Lời giải:

Ta có: 40 = 2³ . 5; 48 = 2⁴ . 3

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng của 40 và 48, đó là 2, 3, 5.

Số mũ lớn nhất của 2 là 4; Số mũ lớn nhất của 3 là 1; Số mũ lớn nhất của 5 là 1.

Vậy BCNN(40, 48) = 2⁴  . 3 . 5 = 240.

Chú ý: Nếu $a⋮b$ thì BCNN(a, b) = a. Chẳng hạn: BCNN(48, 16) = 48.

III. Ứng dụng bội cung nhỏ nhất vào cộng, trừ các phân số không cùng mẫu

Để tính tổng (hoặc hiệu) hai hay nhiều phân số không cùng mẫu, ta có thể làm như sau:

+ Quy đồng mẫu số hai phân số bằng cách chọn mẫu chung là BCNN của các mẫu.

+ Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).

+ Sau khi nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng, ta cộng (trừ) hai hay nhiều phân số có cùng mẫu.

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

$\frac{3}{32}+\frac{11}{24}-\frac{5}{48}$

Lời giải:

BCNN(32, 24, 48) = 96

96 : 32 = 3; 96 : 24 = 4; 96 : 48 = 2

Ta có:   $\frac{3}{32}=\frac{3.3}{32.3}=\frac{9}{96};\frac{11}{24}=\frac{11.4}{24.4}=\frac{44}{96};\frac{5}{48}=\frac{5.2}{48.2}=\frac{10}{96}$

Vậy $\frac{3}{32}+\frac{11}{24}-\frac{5}{48}=\frac{9}{96}+\frac{44}{96}-\frac{10}{96}=\frac{9+44-10}{96}=\frac{43}{96}$.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm bội chung nhỏ nhất của:

a) 54 và 108;

b) 21, 30, 70.

Lời giải:

a) Ta có: 54 = 2 . 27 = 2 . 3³

108 = 4 . 27 = 2² . 3³

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 54 và 108 là 2 và 3, tương ứng với các số mũ lớn nhất lần lượt là 2 và 3

Khi đó: BCNN(54, 108) = 2² . 3³ = 4 . 27 = 108.

b) Ta có: 21 = 3 . 7

30 = 3 . 10 = 3 . 2 . 5; 70 = 7. 10 = 7 . 2 . 5

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 21, 30, 70 là 2, 3, 5, 7; chúng đều có số mũ lớn nhất là 1.

Do đó: BCNN(21, 30, 70) = 2 . 3. 5 . 7 = 210.

Bài 2. Thực hiện phép tính sau: $\frac{1}{6}+\frac{7}{27}+\frac{5}{18}$ .

Lời giải:

Để thực hiện phép tính, trước hết tìm bội chung nhỏ nhất của 6, 27 và 18 để quy đồng mẫu số.

+ Ta có: 6 = 2 . 3; 27 = 3³; 18 = 2 . 9 = 2 . 3²

Các thừa số nguyên tố chung và riêng của 6, 27 và 18 là 2; 3, tương ứng với các số mũ lớn nhất là 1; 3.

Khi đó: BCNN(6, 27, 18) = 2¹ . 3³ = 2 . 27 = 54

+ 54 : 6 = 9; 54 : 27 = 2; 54 : 18 = 3

+ Ta có: $\frac{1}{6}=\frac{1.9}{6.9}=\frac{9}{54};\frac{7}{27}=\frac{7.2}{27.2}=\frac{14}{54}$ ; $\frac{5}{18}=\frac{5.3}{18.3}=\frac{15}{54}.$

Vậy $\frac{1}{6}+\frac{7}{27}+\frac{5}{18}=\frac{9}{54}+\frac{14}{54}+\frac{15}{54}$$=\frac{9+14+15}{54}=\frac{38}{54}=\frac{38:2}{54:2}=\frac{19}{27}.$

B. Trắc nghiệm Bội chung và bội chung nhỏ nhất (Cánh diều 2023) có đáp án

Câu 1: Số x là bội chung của số a và số b nếu:

A.x vừa là bội của a vừa là bội của b

B.x là bội của a nhưng không là bội của b

C.x là bội của b nhưng không là bội của a

D.x không là bội của cả a và b

Hiển thị đáp án  

Đáp án:A

Giải thích:

Theo lý thuyết: Số x là bội chung của số a và số b nếu x vừa là bội của a vừa là bội của b.

Câu 2:Điền từ thích hợp vào chỗ chấm.

A. ước chung

B. bội chung

C. bội chung nhỏ nhất

D. ước chung lớn nhất

Hiển thị đáp án  

Đáp án:B

Giải thích:

Nếu 50$⋮$a thì 50 là bội của a, tương tự 50$⋮$b thì 50 là bội của b.

Do đó 50 vừa là bội của a vừa là bội của b.

Vậy 50 là bội chung của a và b.

Do đó: Nếu 50$⋮$a và 50$⋮$b thì 50 làbội chungcủa a và b.

Câu 3: Điền từ thích hợp vào chỗ chấm.

A. ước chung

B. bội chung

C. bội chung nhỏ nhất

D. ước chung lớn nhất

Hiển thị đáp án  

Đáp án:C

Giải thích:

Nếu 20$⋮$a thì 20 là bội của a, tương tự 20$⋮$b thì 20 là bội của b.

Do đó 20 vừa là bội của a vừa là bội của b.

Vậy 20 là bội chung của a và b.

Mà 20 là số nhỏ nhất, nên 20 là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Vậy: Nếu 20 là số tự nhiên nhỏ nhất mà 20 ⁝ a và 20 ⁝ b thì 20 làbội chung nhỏ nhấtcủa a và b.

Câu 4: Sắp xếp các bước dưới đây để được các bước đúng để tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

1. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng

2. Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất

3. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm

A. 1 – 2 – 3 – 4

B. 2 – 1 – 3 – 4

C. 4 – 3 – 1 – 2

D. 3 – 1 – 2 – 4 

Hiển thị đáp án  

Đáp án:D

Giải thích:

Theo lý thuyết ta có các bước tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố là:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và các thừa số nguyên tố riêng

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn lũy thừa với số mũ lớn nhất

Bước 4. Lấy tích của các lũy thừa đã chọn, ta nhận được bội chung nhỏ nhất cần tìm

Do đó ta sắp xếp theo thứ tự 3 – 1 – 2 – 4.

Câu 5: Điền từ thích hợp vào chỗ chấm.

Bội chung của nhiều số là …. của bội chung nhỏ nhất của chúng.

A. bội

B. ước

C. bội chung

D. ước chung

Hiển thị đáp án  

Đáp án:A

Giải thích:

Theo lý thuyết ta có: Bội chung của nhiều số làbộicủa bội chung nhỏ nhất của chúng.

Câu 6: BCNN(60, 108) là:

A. 12

B. 108

C. 60

D. 540

Hiển thị đáp án  

Đáp án:D

Giải thích:

Ta có:

60 = 2². 3 . 5

108 = 2². 3³

Suy ra: BCNN(60, 108) = 2². 3³. 5 = 540

Câu 7: Số x gọi là bội chung của a, b, c nếu:

A. x $⋮$ a hoặc x $⋮$ b hoặc x $⋮$ c     

B. x $⋮$ a và x $⋮$ b

C. x $⋮$ b và x $⋮$ c     

D. x $⋮$ a và x $⋮$ b và x $⋮$ c

Hiển thị đáp án  

Đáp án:D

Giải thích:

Số x gọi là bội chung của a, b, c nếu x chia hết cho cả a, b, c.

Câu 8: BCNN(40, 28, 140) là:

A. 140

B. 280

C. 420

D. 560

Hiển thị đáp án  

Đáp án:B

Giải thích:

Ta có:

40 = 2³. 5

28 = 2². 7

140 = 2². 5 . 7

Do đó: BCNN(40, 28, 140) = 2³. 5 . 7 = 280.

Câu 9:BCNN(5, 7, 17) là:

A. 595

B. 714

C. 833

D. 1 190

Hiển thị đáp án  

Đáp án:A

Giải thích:

Ta có: 5; 7 và 17 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau.

Do đó, BCNN(5, 7, 17) = 5 . 7 . 17 = 595

Câu 10:BCNN(12, 18, 108) là:

A. 0

B. 108

C. 144

D. 216

Hiển thị đáp án  

Đáp án:B

Giải thích:

Ta có: 108$⋮$12 và 108$⋮$18

Do đó:BCNN(12, 18, 108) = 108.