Hoạt động khám phá 4 trang 44 Toán 11 Tập 2 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 11

Giải Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

Hoạt động khám phá 4 trang 44 Toán 11 Tập 2: Cho biết $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ và $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = e^x;

b) y = lnx.

Lời giải:

a) Có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^x-e^{x_0}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{x_0}\left(e^{x-x_0}-1\right)}{x-x_0}=e^{x_0}$ (do $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{e^{x-x_0}-1}{x-x_0}=1$).

Vì y'(x₀) = $e^{x_0}$ nên y' = (e^x)' = e^x.

b) Ta có $y^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln x-\ln x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\frac{1}{x_0}\cdot \frac{\ln \frac{x}{x_0}}{\frac{x}{x_0}-1}\right)$$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{x_0}\cdot \underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\left(\frac{x}{x_0}-1\right)\right)}{\frac{x}{x_0}-1}=\frac{1}{x_0}$

(do $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\left(\frac{x}{x_0}-1\right)\right)}{\frac{x}{x_0}-1}=1$.

Do y'(x₀) = $\frac{1}{x_0}$nên y' = (lnx)' = $\frac{1}{x}$.