Giải Toán 11 trang 47 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11trang 47 Tập 1

Hoạt động 5 trang 47 Toán 11 Tập 1:Cho dãy số (u_n) với u_n= 1+$\frac{1}{n}$. Khẳng định u_n≤ 2 với mọi n∈ℕ^*có đúng không?

Lời giải:

Xét hiệu u_n – 2 = 1+$\frac{1}{n}$ - 2 = $\frac{1}{n}$-1

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n}$≤ 1 do đó: $\frac{1}{n}$-1≤ 0 .

Vậy u_n – 2 ≤ 0 hay u_n ≤ 2.

Luyện tập 5 trang 47 Toán 11 Tập 1:Chứng minh rằng dãy số (u_n) với$u_n=\frac{n^2+1}{2n^2+4}$là bị chặn.

Lời giải:

Ta có: $u_n=\frac{n^2+1}{2n^2+4}=\frac{1}{2}\left(\frac{n^2+1}{n^2+2}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n^2+2}\right)<\frac{1}{2}$ .

Ta lại có: $u_n=\frac{n^2+1}{2n^2+4}$>0

Do đó 0<$u_n<\frac{1}{2}$.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài tập

Bài 1 trang 47 Toán 11 Tập 1:Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát u_ncho bởi công thức sau:

a) u_n = 2n² + 1;

b) u_n = $\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n-1}$ ;

c) u_n = $\frac{2^n}{n}$ ;

d) u_n = ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ .

Lời giải:

a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy (u_n) là: u₁ = 2.1² + 1 = 3; u₂ = 2.2² + 1 = 9; u₃ = 2.3² + 1 = 19; u₄ = 2.4² + 1 = 33; u­₅ = 2.5² + 1 = 51.

b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy u_n = $\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n-1}$ là:

$u_1=\frac{{\left(-1\right)}^1}{2.1-1}=\frac{-1}{1}=-1;$

$u_2=\frac{{\left(-1\right)}^2}{2.2-1}=\frac{1}{3};$

$u_3=\frac{{\left(-1\right)}^3}{2.3-1}=-\frac{1}{5};$

$u_4=\frac{{\left(-1\right)}^4}{2.4-1}=\frac{1}{7};u_5=\frac{{\left(-1\right)}^5}{2.5-1}=-\frac{1}{9}$

c) Ta có 5 số hàng đầu của dãy u_n = $\frac{2^n}{n}$ là:

u₁ = $\frac{2^1}{1}$= 2 ; u₂ = $\frac{2^2}{1}$ =4; u₃ = $\frac{2^3}{1}$= 8 ; u₄ = $\frac{2^4}{1}$ = 16 ; u₅ = $\frac{2^5}{1}$ = 32 .

d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy u_n = ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ là:

u₁ = ${\left(1+\frac{1}{1}\right)}^1$ = 2; u₂ = ${\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$ ; u₃ = ${\left(1+\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}$ ; u₄ = ${\left(1+\frac{1}{4}\right)}^4=\frac{625}{256}$ ; u₅ = ${\left(1+\frac{1}{5}\right)}^5=\frac{7776}{3125}$.

Bài 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: a) Gọi u_n là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát cho dãy số (u_n).

b) Gọi v_n là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (v_n).

Lời giải:

a) Số chấm ở hàng thứ nhất là: u₁ = 1;

Số chấm ở hàng thứ hai là: u₂ = 2;

Số chấm ở hàng thứ ba là: u₃ = 3;

Số chấm ở hàng thứ tư là: u₄ = 4;

Vậy số chấm ở hàng thứ n là: u_n = n.

b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: v₁ = 1 = 1³;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: v₂ = 8 = 2³;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: v₃ = 27 = 3³;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: v₄ = 64 = 4³;

Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: v_n = n³.