Bài 3 trang 48 Toán 11 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán 11

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số  

Bài 3 trang 48 Toán 11 Tập 1:Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$ ;

b) $u_n=\frac{3^n}{2^n.n!}$ ;

c) u_n = (– 1)ⁿ.(2ⁿ + 1).

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n+1}=\frac{n+1-3}{n+1+2}=\frac{n-2}{n+3}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{n-2}{n+3}-\frac{n-3}{n+2}$

$=\frac{n^2-4-n^2+9}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}=\frac{5}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Suy ra u_n+1 > u_n

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

b) Ta có: $u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}.\left(n+1\right)!}=\frac{{3.3}^n}{2\left(n+1\right){.2}^n.n!}=\frac{3}{2\left(n+1\right)}.u_n$

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{3}{2\left(n+1\right)}<\frac{3}{2}$ suy ra u_n+1 < u_n.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

c) Ta có: u_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹.(2ⁿ⁺¹ + 1)

+) Nếu n chẵn thì u_n+1 = – (2.2ⁿ + 1) và u_n = 2ⁿ + 1. Do đó u_n+1 < u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì u_n+1 = 2.2ⁿ + 1 và u_n = – (2ⁿ + 1). Do đó u_n+1 > u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.