Giải Toán 10 trang 65 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán lớp 10

Giải Toán 10 trang 65 Tập 1

Bài 4.16 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1;3), N(4;2).

a) Tính độ dài của các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Lời giải

a) Ta có:

b) Xét tam giác OMN, có: $OM=MN\left(=\sqrt{10}\right)$suy ra tam giác OMN cân tại M.(1)

Ta có: 

$O{N}^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2=20;O{M}^2+M{N}^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2=20$

$\Rightarrow O{N}^2=O{M}^2+M{N}^2$

Theo định lí Pythagore đảo suy ra tam giác OMN vuông tại M.(2)

Từ (1) và (2) suy ra tam giác OMN vuông cân tại M.

Vậy tam giác OMN vuông cân tại M.

Bài 4.17 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ $\overrightarrow{a}=3\overrightarrow{i}-2\overrightarrow{j};$$\overrightarrow{b}=\left(4;-1\right)$và các điểm M(‒3;6), N(3;‒3).

a) Tìm mối liên hệ giữa các vectơ $\overrightarrow{MN}$và $2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}.$

b) Các điểm O, M, N có thẳng hàng hay không?

c) Tìm điểm P(x;y) để OMNP là hình bình hành.

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có

+ M(-3; 6)$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left(-3;6\right)$

+) N(3;‒3) $\Rightarrow \overrightarrow{ON}=\left(3;-3\right)$

Hai vectơ $\overrightarrow{OM}=\left(-3;6\right),\overrightarrow{ON}=\left(3;-3\right)$không cùng phương(vì $\frac{-3}{3}\ne \frac{6}{-3}$).

Do đó các điểm O, M, N không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm O, M, N không thẳng hàng.

c)

Các điểm O, M, N không thẳng hàng, tứ giác OMNP là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{PN}$

Ta có: M(‒3;6); N(3;‒3) và P(x; y)

$\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\left(-3;6\right),\overrightarrow{PN}=\left(3-x;-3-y\right)$ 

Do đó $\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{PN}$

$\iff \begin{array}{l}-3=3-x\\ 6=-3-y\end{array}\iff \begin{array}{l}x=6\\ y=-9\end{array}\Rightarrow P\left(6;-9\right).$

Vậy điểm cần tìm là P(6;‒9).

Bài 4.18 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1;3), B(2;4), C(‒3;2).

a) Chứng minh rằng ABC là ba đỉnh của một tam giác.

b) Tìm tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tìm điểm D(x; y) để O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

Lời giải

a) Ta có: A(1;3), B(2;4), C(‒3;2).

Suy ra: $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right),\overrightarrow{BC}=\left(-5;-2\right)$

Hai vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right),\overrightarrow{BC}=\left(-5;-2\right)$không cùng phương(vì $\frac{1}{-5}\ne \frac{1}{-2}$).

Do đó các điểm A, B, C không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Vậy ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi M(x₁;y₁) là trung điểm của đoạn thẳng AB với A(1;3) và B(2;4).

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{x}_1=\frac{1+2}{2}\\ y_1=\frac{3+4}{2}\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_1=\frac{3}{2}\\ y_1=\frac{7}{2}\end{array}\Rightarrow M\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right).$

Vậy $M\left(\frac{3}{2};\frac{7}{2}\right)$là trung điểm của đoạn thẳng AB

c) Gọi G(x₂;y₂) là trọng tâm của tam giác ABC với A(1;3), B(2;4) và C(‒3;2).

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{x}_2=\frac{1+2+\left(-3\right)}{3}\\ y_2=\frac{3+4+2}{3}\end{array}\iff \begin{array}{l}{x}_2=0\\ y_2=3\end{array}\Rightarrow G\left(0;3\right).$

Vậy G(0;3) là trọng tâm của tam giác ABC.

d) Để O(0;0) là tọa độ trọng tâm tam giác ABD với A(1;3), B(2;4) và D(x,y) thì:

$\begin{array}{l}0=\frac{1+2+x}{3}\\ 0=\frac{3+4+y}{3}\end{array}\iff \begin{array}{l}x+3=0\\ y+7=0\end{array}\iff \begin{array}{l}x=-3\\ y=-7\end{array}\Rightarrow D\left(-3;-7\right)$

Vậy D(‒3;‒7) thì O(0;0) là trọng tâm tam giác ABD.

Bài 4.19 trang 65 Toán 10 Tập 1: Sự chuyển động của một tàu thủy được thể hiện trên một mặt phẳng tọa độ như sau: Tàu khởi hành từ vị trí A(1;2) chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow{v}=\left(3;4\right).$Xác định vị trí của tàu (trên mặt phẳng tọa độ) tại thời điểm sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Lời giải

Gọi B(x; y) là vị trí của tàu thủy trên mặt phẳng toạ độ sau khi khởi hành 1,5 giờ.

Tàu khởi hành từ vị trí A chuyển động thẳng đều với vận tốc (tính theo giờ) được biểu thị bởi vectơ $\overrightarrow{v}=\left(3;4\right)$, sau 1,5 giờ thì tàu thuỷ đến B nên $\overrightarrow{AB}=1,5\overrightarrow{v}$

Mà A(1;2); B(x; y) nên $\overrightarrow{AB}=\left(x-1;y-2\right)$

Khi đó: $\overrightarrow{AB}=1,5\overrightarrow{v}$

$\iff \begin{array}{l}x-1=1,5.3\\ y-2=1,5.4\end{array}\iff \begin{array}{l}x=1,5.3+1\\ y=1,5.4+2\end{array}\iff \begin{array}{l}x=5,5\\ y=8\end{array}\Rightarrow B\left(5,5;8\right)$

Vậy sau khi khởi hành 1,5 giờ thì tàu thủy đến được vị trí B(5,5; 8).

Bài 4.20 trang 65 Toán 10 Tập 1: Trong Hình 4.38, quân mã đang vị trí có tọa độ (1;2). Hỏi sau một nước đi, quân mã có thể đến những vị trí nào?

Lời giải

Cách di chuyển của quân mã là đi theo hình chữ L, mỗi nước đi gồm tồng cộng 3 ô (tiến 1 ô rồi quẹo trái/ phải 2 ô và ngược lại hoặc tiến 2 ô rồi quẹo trái/ phải 1 ô và ngược lại) nên quân mã có thể đi đến các vị trí A, B, C, D, E và O trên bàn cờ như hình dưới đây:

Tọa độ của các vị trí đó là: O(0;0), A(0;4), B(2;4), C(3;3), D(3;1), E(2;0).

Vậy sau một nước đi, quân mã có thể đến các vị trí O(0;0), A(0;4), B(2;4), C(3;3), D(3;1), E(2;0).