Giải bài tập trang 47 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 47 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 47 Chuyên đề Toán 10:

Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các elip sau:

a) $\left(E_1\right):\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$;

b) $\left(E_2\right):\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$.

Lời giải:

a) Có a2 = 4, b2 = 1 $\Rightarrow$a = 2, b = 1 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.$

Toạ độ hai tiêu điểm của elip là $F_1\left(-\sqrt{3};0\right)$và $F_2\left(\sqrt{3};0\right).$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁ là

Δ₁:

$x+\frac{a}{e}=0\iff x+\frac{a^2}{c}=0\iff x+\frac{4}{\sqrt{3}}=0;$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂ là

Δ₂: 

$x-\frac{a}{e}=0\iff x-\frac{a^2}{c}=0\iff x-\frac{4}{\sqrt{3}}=0.$

Vận dụng 4 trang 47 Chuyên đề Toán 10:

Lập phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{50}{3}$.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Theo đề bài ta có:

– Elip có tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6, suy ra c = 3.

– Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là $\frac{50}{3}$, suy ra $2\frac{a}{e}=\frac{50}{3}$

$\Rightarrow \frac{a}{e}=\frac{25}{3}\Rightarrow \frac{a^2}{c}=\frac{25}{3}\Rightarrow \frac{a^2}{3}=\frac{25}{3}\Rightarrow a^2=25\Rightarrow b^2=a^2-c^2=25-9=16.$

Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

Bài 1 trang 47 Chuyên đề Toán 10:

Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$.

a) Tìm tâm sai, chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở của (E) và vẽ (E).

b) Tìm độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) trên (E).

c) Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn của (E).

Lời giải:

a) Có a2 = 64, b2 = 36 $\Rightarrow$a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}.$

Tâm sai của (E) là $e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{7}}{8}=\frac{\sqrt{7}}{4}.$

Chiều dài hình chữ nhật cơ sở là 2a = 16, chiều rộng hình chữ nhật cơ sở là 2b = 12.

Vẽ (E):

b) hai bán kính qua tiêu của điểm M(0; 6) là MF₁ = a + $\frac{c}{a}x$= 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}.0$= 8,

MF₂ = a – $\frac{c}{a}x$= 8 ­– $\frac{\sqrt{7}}{4}.0$= 8.

Bài 2 trang 47 Chuyên đề Toán 10:

Tìm các điểm trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$có độ dài hai bán kính qua tiêu nhỏ nhất, lớn nhất.

Lời giải:

Xét điểm M có toạ độ là (x; y).

+) Xét khoảng cách từ M đến F₁.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

$\Rightarrow \frac{c}{a}.\left(-a\right)\le \frac{c}{a}x\le \frac{c}{a}.a\Rightarrow -c\le \frac{c}{a}x\le c\Rightarrow a-c\le a+\frac{c}{a}x\le a+c.$

Vậy a – c ≤ MF₁ ≤ a + c.

Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là –a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng a.

+) Xét khoảng cách từ M đến F₂.

Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x.

Mặt khác, vì M thuộc elip nên –a ≤ x ≤ a

$\Rightarrow \frac{c}{a}.\left(-a\right)\le \frac{c}{a}x\le \frac{c}{a}.a\Rightarrow -c\le \frac{c}{a}x\le c\Rightarrow c\ge -\frac{c}{a}x\ge -c\Rightarrow a+c\ge a+\frac{c}{a}x\ge a-c.$

Vậy a + c ≥ MF₂ ≥ a – c.

Vậy độ dài MF₂ nhỏ nhất bằng a – c khi M có hoành độ là a, lớn nhất bằng a + c khi M có hoành độ bằng –a.