Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 42, 43 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 1 trang 42 Chuyên đề Toán 10: Cho elip (E) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$(0<b<a)$và cho điểm M(x₀; y₀) nằm trên (E).

Các điểm M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) có thuộc (E) hay không?

Lời giải:

Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc (E) thì ta có: $\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1.$

Ta có:

$\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=\frac{{\left(-x_0\right)}^2}{a^2}+\frac{{\left(-y_0\right)}^2}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}=1$

Nên các điểm có toạ độ M₁(x₀; –y₀), M₂(–x₀; y₀), M₃(–x₀; –y₀) cũng thuộc (E).

Thực hành 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10:

Viết phương trình chính tắc của elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6. Hãy xác định toạ độ đỉnh, tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục của elip này.

Lời giải:

Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a > b > 0).

Theo đề bài ta có: elip có kích thước của hình chữ nhật cơ sở là 8 và 6 $\Rightarrow$2a = 8 và 2b = 6 $\Rightarrow$a = 4, b = 3 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}$$=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}.$

Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–4; 0), A₂(4; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).

Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–$-\sqrt{7}$; 0), F₂($\sqrt{7}$; 0).

Tiêu cự của elip là 2c = 2$2\sqrt{7}$.

Độ dài trục lớn là 2a = 8, độ dài trục bé là 2b = 6.

Vận dụng 1 trang 43 Chuyên đề Toán 10: Hãy gấp một mảnh giấy có hình clip (Hình 5) thành bốn phần chồng khít lên nhau.

Lời giải:

Đầu tiên gấp tờ giấy sao cho hai đỉnh đối diện của elip trùng nhau.

Khi đó đường gấp sẽ đi qua hai đỉnh còn lại của elip, gấp tiếp tờ giấy sao cho hai đỉnh còn lại này trùng nhau. Khi đó ta đã gấp elip thành 4 phần chồng khít lên nhau.