Giải bài tập trang 44 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Giải bài tập trang 44 Chuyên đề Toán 10 Bài 1 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10: Cho điểm M(x; y) nằm trên elip (E): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$có hai tiêu điểm là F₁(–c; 0), F₂(c; 0) (Hình 6).

a) Tính F₁M2 và F₂M2 theo x, y, c.

b) Chứng tỏ rằng: F₁M2 – F₂M2 = 4cx, F₁M – F₂M = $2\frac{cx}{a}.$

c) Tính độ dài hai đoạn MF₁ và MF₂ theo a, c, x.

Lời giải:

a) F₁M2 = [x – (– c)]2 + (y – 0)2 = (x + c)2 + y2 = x2 + 2cx + c2 + y2;

F₂M2 = (x – c)2 + (y – 0)2 = x2 – 2cx + c2 + y2.

b) F₁M2 – F₂M2 = (x2 + 2cx + c2 + y2) – (x2 – 2cx + c2 + y2) = 4cx.

F₁M2 – F₂M2 = 4cx $\Rightarrow$(F₁M + F₂M)(F₁M – F₂M) = 4cx $\Rightarrow$2a(F₁M – F₂M) = 4cx

$\Rightarrow$F₁M – F₂M = $\frac{4cx}{2a}$= $\frac{2cx}{a}$

c)

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1}M-F_{2}M=\frac{2c}{a}x$ta suy ra:

(F₁M + F₂M) + (F₁M – F₂M) = 2a + $\frac{2c}{a}x$$\Rightarrow$2F₁M = 2a + $\frac{2c}{a}x$$\Rightarrow$MF₁ = a + x.

+) Từ F₁M + F₂M = 2a và $F_{1}M-F_{2}M=\frac{2c}{a}x$ta suy ra:

(F₁M + F₂M) – (F₁M – F₂M) = 2a – $\frac{2c}{a}x\Rightarrow$2F₂M = 2a – $\frac{2c}{a}x\Rightarrow$MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x.

Thực hành 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

a) Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên elip (E): $\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{36}=1$.

b) Tìm các điểm trên elip $\left(E\right):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$có độ dài hai bán kính qua tiêu bằng nhau.

Lời giải:

a) Có a2 = 64, b2 = 36 $\Rightarrow$a = 8, b = 6 $\Rightarrow c=\sqrt{a^2-b^2}=$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của M(x; y) là:

MF₁ = a + $\frac{c}{a}$x = 8 + $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$= 8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}x;$MF₂ = a – $\frac{c}{a}$x = 8 – $\frac{2\sqrt{7}}{8}x$= 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4}x;$

b) Giả sử M(x; y) nằm trên (E) thoả mãn đề bài. Khi đó:

MF₁ = MF₂ $\iff$8 + $\frac{\sqrt{7}}{4}x$= 8 – $\frac{\sqrt{7}}{4}x$$\iff$x = 0 $\iff \begin{array}{l}y=6\\ y=-6\end{array}.$$\sqrt{28}=2\sqrt{7}.$

Vậy có hai điểm thoả mãn đề bài là M₁(0; 6) và M₂(0; –6).

Vận dụng 2 trang 44 Chuyên đề Toán 10:

Người ta chứng minh được rằng ánh sáng hay âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu (Hình 7a).

Vòm xe điện ngầm của một thành phố có mặt cắt hình elip (Hình 7b). Hãy giải thích tại sao tiếng nói của một người phát ra từ một tiêu điểm bên này, mặc dù khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.

Lời giải:

Vì âm thanh đi từ một tiêu điểm, khi đến một điểm M bất kì trên elip luôn luôn cho tia phản xạ đi qua tiêu điểm còn lại, nghĩa là đi theo các bán kính qua tiêu nên quãng đường âm thanh đã đi là MF₁ + MF₂.

Mà MF₁ + MF₂ = (a + $\frac{c}{a}$x) + (a – $\frac{c}{a}$x) = 2a nên quãng đường âm thanh đi luôn không đổi dù đến các điểm khác nhau trên elip, vận tốc âm thanh cũng không đổi nên thời gian âm thanh đã đi cũng không đổi. Do đó âm thanh khi đi đến các điểm khác nhau trên elip vẫn luôn dội lại tới tiêu điểm bên kia cùng một lúc.