Anonymous

Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đường thẳng dưới đây

- asked 4 months agoVotes

0Answers

0Views

Giải SBT Toán 9 Bài 2: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 11 trang 7 SBT Toán 9 Tập 2:

$\begin{array}{l} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{array}$

a) Có nghiệm duy nhất;

b) Vô nghiệm

c) Vô số nghiệm.

Áp dụng:

a) Lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất.

b) Lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm.

c) Lập một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.

Lời giải:

Xét trườn hợp $a' \neq 0; b' \neq; c' \neq 0$

Ta có: $\begin{array}{l} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} b y = - a x + c \\ b' y = - a' x + c' \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} y = \frac{- a}{b} x + \frac{c}{b} \\ y = \frac{- a'}{b'} x + \frac{c'}{b'} \end{array}$

a) Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi hai đường thẳng cắt nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau:

$\Rightarrow \frac{a}{b} \neq \frac{a'}{b'} \Rightarrow \frac{a}{a'} \neq \frac{b}{b'}$

b) Hệ phương trình vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc bằng nhau và tung độ gốc khác nhau:

$\begin{array}{l} \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} \\ \frac{c}{b} \neq \frac{c'}{b'} \end{array} \Rightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}$ (nếu $c' \neq 0$ ) hoặc $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} \neq \frac{c'}{c}$ (nếu $c \neq 0$ )

c) Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai đường thẳng trùng nhau. Nghĩa là hai đường thẳng có hệ số góc và tung độ gốc bằng nhau:

$\begin{array}{l} \frac{a}{b} = \frac{a'}{b'} \\ \frac{c}{b} = \frac{c'}{b'} \end{array} \Rightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ (nếu $c' \neq 0$ ) hoặc $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = \frac{c'}{c}$ (nếu $c \neq 0$ )

+ Nếu $a = 0; a' \neq 0$

Ta có: $\begin{array}{l} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} y = \frac{c}{b} \\ y = \frac{- a'}{b'} x + \frac{c'}{b'} \end{array}$ (với $b' \neq 0$ )

Hoặc $\begin{array}{l} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} y = \frac{c}{b} \\ x = \frac{c'}{a'} \end{array}$ (với b’ = 0)

Vì hai đường thẳng $y = \frac{- a'}{b'} x + \frac{c'}{b'}$ và $x = \frac{c'}{a'}$ luôn cắt trục hoành còn đường thẳng $y = \frac{c}{b}$ song song hoặc tùng với trục hoành nên chúng luôn cắt nhau. Vậy hệ phương trình luôn có một nghiệm duy nhất

+ Nếu a = a’ = 0

Ta có: $\begin{array}{l} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} y = \frac{c}{b} \\ y = \frac{c'}{b'} \end{array}$

Hệ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng này trùng nhau, nghĩa là:

$\frac{c}{b} = \frac{c'}{b'} \Rightarrow \frac{c}{c'} = \frac{b}{b'}$

Hệ vô nghiệm khi hai đường thẳng song song nhau, nghĩa là:

$\frac{c}{b} \neq \frac{c'}{b'} \Rightarrow \frac{c}{c'} \neq \frac{b}{b'}$

+ Nếu b = 0; $b' \neq 0$

Ta có: $\begin{array}{l} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{c}{a} \\ y = \frac{- a'}{b'} x + \frac{c'}{b'} \end{array}$ (với $a' \neq 0$ )

Hoặc $\begin{array}{l} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{c}{a} \\ y = \frac{c'}{b'} \end{array}$ (với a’ = 0)

Vì hai đường thẳng $y = \frac{- a'}{b'} x + \frac{c'}{b'}$ và $y = \frac{c'}{b'}$ luôn luôn cắt trục tung còn đường thẳng $x = \frac{c}{a}$ song song hoặc trùng với trục tung nên chúng luôn cắt nhau.

Vậy hệ phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất.

+ Nếu b = b’ = 0

Ta có: $\begin{array}{l} a x + b y = c \\ a' x + b' y = c' \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{l} x = \frac{c}{a} \\ x = \frac{c'}{a'} \end{array}$