Bài 3 trang 59 Toán lớp 10 Tập 1 | Cánh diều Giải Toán lớp 10

Giải Toán lớp 10 Bài 5: Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 3 trang 59 Toán lớp 10 Tập 1: Để leo lên một bức tường, bác Nam dùng một chiếc thang có chiều dài cao hơn bức tường đó 1 m. Ban đầu, bác Nam đặt chiếc thang mà đầu trên của chiếc thang đó vừa chạm đúng và mép trên bức tường (Hình 33a). Sau đó, bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần chân tường thêm 0,5 m thì bác Nam nhận thấy thang tạo với mặt đất một góc 60° (Hình 33b). Bức tường cao bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Lời giải:

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0).

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m).

Hình 33a) tương ứng ta có: AC = x, AB = x + 1

Xét tam giác ABC vuông tại C:

AB² = AC² + BC² (định lý Pythagore)

⇒BC² = AB² – AC² = (x + 1)² – x² = (x + 1 – x)(x + 1 + x) = 2x + 1

$\Rightarrow BC=\sqrt{2x+1}$(m).

Hình 33b) ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m).

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC – 0,5.

Suy ra $GE=\sqrt{2x+1}-0,5$(m)

Xét tam giác DGE vuông tại G, ta có:

$\tan \widehat{DEG}=\frac{DG}{GE}$

⇔ $\tan 60°=\frac{x}{\sqrt{2x+1}-0,5}$

⇔$\sqrt{3}=\frac{x}{\sqrt{2x+1}-0,5}$

⇔$x=\sqrt{3}\left(\sqrt{2x+1}-0,5\right)$

$\iff x=\sqrt{3\left(2x+1\right)}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\iff \sqrt{3\left(2x+1\right)}=x+\frac{\sqrt{3}}{2}$(1)

Điều kiện $x+\frac{\sqrt{3}}{2}\ge 0\iff x\ge -\frac{\sqrt{3}}{2}$(2)

Bình phương hai vế của (1) ta được: $3\left(2x+1\right)={\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$

$\iff 6x+3=x^2+\sqrt{3}x+\frac{3}{4}$

$\iff x^2+\left(\sqrt{3}-6\right)x-\frac{9}{4}=0$

$\iff \begin{array}{l}x=\frac{6-\sqrt{3}+\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx 4,7\\ x=\frac{6-\sqrt{3}-\sqrt{48-12\sqrt{3}}}{2}\approx -0,5\end{array}$

Ta thấy chỉ có x ≈ 4,7 thỏa mãn x > 0 và điều kiện (2).

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.