Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

Giải Toán 10 Ôn tập cuối năm

Bài 5 trang 99 Toán lớp 10 Hình học: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) a = b cosC + c cosB;

b) sinA = sinB cosC + sinC cosB;

c) h_a = 2RsinB sinC.

*Phương pháp giải

1. Xác định dạng của phương trình và các giá trị đặc biệt liên quan đến sin(x) và cos(x).
2. Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản để đơn giản hóa phương trình.
3. Giải phương trình sau khi đã đơn giản hóa để tìm các giá trị của x.
4. Kiểm tra lại các giá trị x tìm được để đảm bảo chúng thỏa mãn phương trình ban đầu.

*Lời giải:

a) Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác ta có:

$\cos C=\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab};\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

Ta có: b cosC + c cosB = $b.\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}+c.\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$=\frac{b^2+a^2-c^2}{2a}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}$

$=\frac{2a^2}{2a}=a$ (đpcm).

b) Theo định lí tổng ba góc của tam giác ta có:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}$ = 180º $\Rightarrow \widehat{A}=180°-\left(\widehat{B}+\widehat{C}\right)$

⇒ sinA = sin[180º – (B + C)] = sin(B + C) = sinB.cos C + cosB. sinC (đpcm)

c) Theo định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow 2R.\sin B=b$

Do đó: $2R.\sin B.\sin C=b.\sin C=\frac{ab.\sin C}{a}=\frac{2S}{a}=\frac{a.h_a}{a}=h_a$ (đpcm).

*Cách giải

${\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)=1$

$\sin (2x)=2\sin (x)\cos (x)$

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$

$\sin (x\pm y)=\sin (x)\cos (y)\pm \cos (x)\sin (y)$

$\cos (x\pm y)=\cos (x)\cos (y)\mp \sin (x)\sin (y)$